Теоретический минимум

В связи с функциональными рядами часто возникает вопрос о качестве их сходимости. Функциональные ряды помимо быстроты сходимости обладают
ещё одной важной характеристикой. Чтобы продемонстрировать её наглядно, обратимся сначала к функциональным последовательностям. Это
необходимо, так как сходимость ряда определяется сходимостью последовательности его частичных сумм.

Итак, рассмотрим на отрезке две последовательности и . На данном отрезке они
сходятся: .
На графиках ниже приведены первые двадцать функций обеих последовательностей (график первой функции отмечен красным цветом).

Как видно, сходимость последовательностей разная. Количественно это отличие можно описать следующим образом. Посмотрим, как сильно отклоняется
каждая следующая функция последовательности от предельной функции. В данном случае сравнивать нужно с тождественно равной нулю функцией.
Конечно, при разных значениях аргумента отклонения функций последовательности от нуля различны. Однако можно заметить, что
у функций с ростом максимальное отклонение функции от нуля постепенно уменьшается, чего не наблюдается
у функций . Это отличие и фиксируется с помощью понятия равномерной сходимости.

Дадим определение сходимости функциональной последовательности.
Последовательность сходится на множестве к функции , если
.
Это определение мало отличается от определения сходящейся числовой последовательности. Подробный комментарий к этому определению
можно прочитать в теме "МА. Предел последовательности. Определение на языке "эпсилон-дельта".

Теперь обратим внимание на одну деталь: номер , начиная с которого элемент последовательности начинает отличаться от предельной
функции не более чем на , зависит не только от , но и от точки . Иными словами, в определении
сходимости сказано, что рано или поздно для каждой точки множества найдётся такой номер . Другое дело, что для одних
точек он найдётся раньше, а для других - позже. Для "простой" сходимости это неважно.

Последовательность равномерно сходится на множестве к функции , если

Главное здесь в том, что фрагмент переместился внутрь утверждения, а номер перестал зависеть от точки . Т.е.
половина определения сохранилась: по-прежнему требуется, чтобы, начиная с некоторого номера, элементы последовательности отличались от
предельной функции не более чем на . Только теперь утверждается, что при заданном это условие
выполнится для всех значений сразу.

Вернёмся к двум первым графикам. Проведём горизонтальную линию. Она будет соответствовать некоторому значению из определения
сходимости. Видно, что в случае функций сколь бы велик ни был номер , графики элементов последовательности
будут пересекать синюю прямую, т.е. не будет выполнено неравенство сразу для всех значений -
равномерной сходимости нет. В случае функций для любого положения горизонтальной прямой найдётся элемент последовательности,
график которого находится целиком ниже этой прямой. Это и говорит о равномерной сходимости последовательности.


Критерий равномерной сходимости прост и в свете проведённых выше рассуждений понятен. Последовательность равномерно сходится
на множестве к функции тогда и только тогда, когда .
Продемонстрируем этот критерий на нескольких примерах.

Пример 1.
И начнём с двух последовательностей, которые сразу были приведены в пример.

Сразу отметим, что при обе последовательности сходятся к тождественно равной нулю функции (убедитесь в этом!).
Рассмотрим функцию , где - предельная функция. Выражение под модулем на рассматриваемом
отрезке неотрицательно, поэтому модуль можно снять. Чтобы найти, где эта разность достигает максимума, вычислим производную и приравняем
её к нулю:
.
Точка не соответствует максимуму в отличие от точки . Таким образом,
.
Следовательно,
.
Это значит, что последовательность не является равномерно сходящейся. Это было видно и по графикам. Кстати, получившаяся
аналитически четверть как верхняя грань всех функций последовательности тоже прекрасно видна.

Переходим к функции , где - предельная функция. Снова модуль можно снять. Ищем точку максимума:
,
точка снова не соответствует максимуму.
.
В пределе при первая скобка стремится к , а вторая - к нулю, следовательно,
.
Таким образом, последовательность сходится равномерно.

Пример 2.
Исследовать на равномерную сходимость последовательности и на интервале .

Предельная функция в обоих случаях одна и та же - тождественно равная нулю . Рассмотрим функцию :
.
Очевидно, что .
Следовательно, последовательность не является равномерно сходящейся.

Теперь рассмотрим функцию :

.
Таким образом, последовательность сходится равномерно.

Проиллюстрируем эти два примера графически. Изображены первые семь функций обеих последовательностей.



Пример 3.
Исследовать на равномерную сходимость последовательность на интервале .

Предельная функция здесь . Рассмотрим функцию :
.

Таким образом, последовательность сходится равномерно. Здесь тоже возможна графическая интерпретация, только строить нужно
графики функций .

Теоретический минимум (окончание)

Продолжим с функциональными рядами. Функциональный ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм. Если эта сходимость
равномерная, то и ряд называется равномерно сходящимся. Следовательно, непосредственный способ установить, сходится ли ряд равномерно -
исследовать функциональную последовательность его частичных сумм, как показано выше. Однако этот способ может быть тяжело реализуемым.
Фактически он предполагает суммирование функционального ряда - а это более сложная задача. Поэтому существует набор теорем, позволяющих
ответить на вопрос о равномерной сходимости ряда без проведения его суммирования. Перед тем как обратиться к этим теоремам, укажем, что не может
равномерно сходиться ряд, последовательность членов которого не сходится равномерно к нулю. Обратное неверно: из того, что последовательность
общих членов ряда равномерно сходится к нулю, не следует равномерная сходимость ряда.

Одна из часто используемых теорем - мажорантный признак Вейерштрасса. Рассмотрим ряд . Если ,
а ряд сходится, то ряд равномерно сходится на множестве .
Этот признак очень удобен в использовании.

Приведём ещё два признака равномерной сходимости: Абеля и Дирихле.
Признак Абеля заключается в следующем. Если общий член ряда можно представить в виде , причём
последовательность монотонна и ограничена:
, а ряд равномерно сходится на множестве , то ряд равномерно сходится на множестве .

Признак Дирихле основан тоже на представлении общего члена ряда в виде произведения .
Теперь последовательность предполагается монотонной и равномерно сходящейся к тождественно равной нулю функции.
Частичные суммы ряда предполагаются равномерно ограниченными, т.е. любая частичная сумма для любого значения по модулю
не превышает одного и того же числа. В этом случае ряд равномерно сходится на множестве .

Наконец, существует ещё критерий Коши равномерной сходимости ряда. Этот признак формализован несколько сложнее, так как формулируется
на языке эпсилон-дельта. Ряд равномерно сходится на множестве тогда и только тогда, когда
.

Почему так интересна равномерная сходимость ряда? Ответ заключается в том, что качество сходимости ряда лучше, если он сходится равномерно.
Этот ответ, конечно, ни на какую строгость не претендует, но отражает общую идею, чему способствуют и графические интерпретации. Вернитесь
ещё раз к самому первому графику темы и сравните, как сходятся две функциональные последовательности. Особенно обратите внимание на поведение
в окрестности правого конца отрезка элементов последовательности с ростом их номера. Несложно видеть, что в пределе поведение функции в этой
области становится "плохим": резкий скачок вверх, а потом вниз. Другое дело, что в пределе этот скачок исчезает. Однако представьте себе, что
это последовательность частичных сумм некоторого функционального ряда. Такое поведение частичных сумм не может не сказаться на аналитических
свойствах. В первую очередь речь идёт о предельном переходе и дифференцировании ряда.

На почленном дифференцировании ряда хотелось бы остановиться немного подробнее. Интересно то, что для того чтобы ряд можно было почленно
дифференцировать не требуется его равномерная сходимость. Требуется, однако, равномерная сходимость ряда, составленного из производных
от членов исходного ряда. В этом случае если сам ряд сходится к некоторой функции , то ряд производных сходится к функции .
Строго говоря, ещё требуется непрерывная дифференцируемость членов исходного ряда.

Примеры

Пример 1. Исследование на основе определения равномерной сходимости.
Исследовать на равномерную сходимость на отрезке ряд .

В данном случае можно не прибегать к специальным признакам равномерной сходимости, так как легко найти частичные суммы ряда:
.
Следовательно,

Применим критерий равномерной сходимости функциональной последовательности:
.
Значит, последовательность не является равномерно сходящейся. Поэтому и ряд не сходится равномерно.
Ниже изображены графики нескольких первых частичных сумм (первая отмечена красным цветом). Отсутствие равномерной сходимости можно
увидеть непосредственно.


Пример 2. Использование критерия Коши.
Исследовать на равномерную сходимость на отрезке ряд .

Здесь применим критерий Коши, для чего оценим сумму членов ряда, начиная с -го, заканчивая -м:
.
Таким образом, при выборе критерий Коши будет выполнен. Ряд сходится равномерно.

На графике ниже изображены кривые для нескольких первых значений (первая кривая красная, последняя -
зелёная). Видно, что последовательность частичных сумм сходится равномерно.


Пример 3. Использование признака Вейерштрасса.
Исследовать на равномерную сходимость на интервале ряд .

Здесь удобно применить признак Вейерштрасса, так как несложно подобрать мажоранту для ряда. Найдём максимум общего члена ряда:
.
Следовательно,
.
Мажорирующий ряд сходится. Поэтому исходный ряд сходится равномерно.

Пример 4. Использование признака Дирихле.
Исследовать на равномерную сходимость на интервале ряд .

Применим признак Дирихле. Представим общий член ряда в виде произведения
.
Последовательность , монотонно убывая, стремится к нулю. Рассмотрим далее частичные суммы :


.
Следовательно,
.
Здесь сыграло свою роль то обстоятельство, что концы заданного в условии промежутка не входят в рассмотрение, а потому знаменатель
последней дроби в нуль не обращается. Итак, исходный ряд сходится равномерно по признаку Дирихле.

Пример 5. Использование критерия Коши.
Исследовать на равномерную сходимость на отрезке ряд .

Как должно быть уже понятно, на данном отрезке исследовать ряд тем же методом, что и в предыдущем примере, не получится:
частичные суммы вспомогательного ряда не будут ограничены. Более того, мы сейчас с помощью критерия Коши покажем, что ряд на данном
промежутке не сходится равномерно. Для этого сначала запишем отрицание критерия Коши:
.
Выберем , тогда
.
Итак, для ряда выполнилось отрицание критерия Коши, следовательно, он не сходится равномерно.

Пример 6. Почленное дифференцирование ряда.
Докажем, что ряд можно почленно дифференцировать.

Непрерывная дифференцируемость членов ряда очевидна. Составим ряд производных:
.
Оценим общий член этого ряда:
.
Таким образом, подобран мажорирующий ряд , который сходится. Поэтому по признаку
Вейерштрасса ряд производных сходится равномерно. Следовательно, исходный ряд можно почленно дифференцировать.