1. Уважаемые друзья!

    С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
    Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

    Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

    Всегда ваша,
    Администрация Корума

МА. Поверхностные интегралы второго рода

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем Schufter, 11 авг 2013.

Модераторы: onyx
  1. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Теоретический минимум

    Эта тема продолжает обсуждение криволинейных и поверхностных интегралов, начатое в теме "МА. Криволинейные интегралы первого рода и поверхностные интегралы первого рода". Рекомендуется предварительно ознакомиться с той темой. Ввиду большей сложности темы криволинейные и поверхностные интегралы
    второго рода рассматриваются отдельно. Здесь обсуждаются поверхностные интегралы второго рода - пожалуй, наиболее сложная интегральная операция в
    анализе функций многих переменных. План будет совершенно аналогичен рассмотрению криволинейного интеграла второго рода. Начнём с физических приложений,
    а потом уже перейдём к формальному математическому аспекту.

    1. Физические приложения поверхностного интеграла второго рода

    Самый естественный способ ввести поверхностный интеграл второго рода - рассмотреть поток жидкости через некоторую поверхность. Начнём с простого случая:
    жидкость течёт вдоль оси абсцисс с постоянной скоростью [​IMG]. Выделим перпендикулярную течению площадку и найдём массу жидкости, проходящую через
    неё за время [​IMG]. За это время через площадку проходит «параллелепипед» высотой [​IMG] и с основанием площадью [​IMG]. Масса этого «параллелепипеда»
    равна [​IMG], где [​IMG] - плотность жидкости.
    [​IMG]
    Теперь пусть жидкость течёт параллельно плоскости [​IMG] под углом [​IMG] к оси абсцисс, но по-прежнему со скоростью [​IMG]. Площадку из предыдущего
    случая расположим по-прежнему перпендикулярно оси абсцисс. За время [​IMG] через неё проходит наклонный «параллелепипед» (см. рис. 1). Его масса
    равна [​IMG]. Заметим, что введение единичного вектора нормали к площадке [​IMG] позволяет записать [​IMG].
    Вводится формальный вектор элементарной площадки [​IMG], модуль которого равен [​IMG], а его направление совпадает с направлением вектора
    нормали к площадке. Тогда [​IMG]. Такая запись позволяет не заботиться о направлении вектора скорости жидкости по отношению
    к площадке.

    Осталось отказаться от малости площадки, через которую течёт жидкость, и от предположение о постоянстве модуля и направления скорости. Тогда
    поверхность разбивается на малые части, в пределах которой вектор скорости можно считать постоянным. Масса жидкости, проходящей через поверхность,
    приближённо даётся суммой
    [​IMG].
    Точная формула получится в пределе разбиения поверхности на бесконечно малые части. Предел является поверхностным интегралом второго рода:
    [​IMG].
    При написании этого раздела использован фрагмент учебного материала преподавателя кафедры общей физики, используемый им на семинарских занятиях.

    2. Определение поверхностного интеграла второго рода

    Теперь о формальном построении интеграла. В связи с тем, что интегрируется по поверхности векторное поле, имеет смысл уточнять, по какой стороне
    поверхности вычисляется интеграл (как при вычислении потока жидкости: втекает жидкость внутрь поверхности или вытекает из неё). Поэтому особо уточняется,
    что поверхность, по которой проводится интегрирование, должна быть двусторонней или ориентируемой (т.е. лист Мёбиуса как целое не подойдёт). Поверхность
    сразу ориентируется, т.е. выбирается определённое направление нормали к поверхности (скажем, если интеграл вычисляется по сфере, то нормаль может быть
    направлена из сферы или внутрь сферы). Компоненты поля [​IMG] являются в общей случае функциями точки. Поверхность интегрирования
    [​IMG] разбивается на малые части [​IMG], в каждой части выбирается точка [​IMG] и составляется сумма
    [​IMG],
    где [​IMG] - площадь проекции элемента [​IMG] на плоскость [​IMG], [​IMG] - площадь проекции этого элемента на плоскость [​IMG], [​IMG] - площадь
    проекции этого элемента на плоскость [​IMG]. Проводим суммированием по всем элементам, на которые разбита поверхность:
    [​IMG]
    и переходим к пределу, устремляя к нулю диаметр наибольшей частичной области. Предел является поверхностным интегралом второго рода
    [​IMG].

    [​IMG]
    Покажем, как привести этот интеграл к виду из п.1. Для этого придётся сделать небольшое отступление чисто геометрического характера. Пусть имеется
    плоскость [​IMG], пересекающая оси координат (см. рис. 2). Часть этой плоскости, расположенная в первом октанте, имеет площадь [​IMG]. Требуется найти площади
    всех трёх ортогональных проекций данной части плоскости на координатные плоскости. Как известно, площадь проекции фигуры равна произведению площади
    самой фигуры и косинуса угла между плоскостью фигуры и плоскостью, на которую она проектируется (см. рис. 3). Т.е. нужно найти углы, которые составляет
    плоскость [​IMG] с координатными плоскостями. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Единичная нормаль к плоскости [​IMG] имеет компоненты,
    являющиеся её направляющими косинусами. Поэтому угол между плоскостью [​IMG] и плоскостью [​IMG] равен [​IMG] (см. рис. 2), а значит [​IMG].
    Это же соотношение будет справедливо для бесконечно малых площадок: [​IMG]. И аналогично [​IMG].
    С учётом этих соотношений интеграл примет вид
    [​IMG].
    Кстати, эта форма записи более наглядна, поэтому работать будем именно с ней.

    Изменение направления нормали на противоположное приводит к тому, что интеграл меняет знак.

    3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода

    После приведения интеграла к форме, содержащей направляющие косинусы нормали к поверхности, задача по сути сводится к записи единичной нормали
    с дальнейшим вычислением поверхностного интеграла первого рода. В этих действиях есть некоторая специфика, поэтому подробно разберёмся с вычислением
    интегралов такого типа.

    Начнём со случая, когда поверхность интегрирования задана явным уравнением, например, [​IMG]. Тогда вектор нормали записывается так:
    [​IMG],
    а элемент площади поверхности
    [​IMG].
    В результате поверхностный интеграл принимает следующий вид:
    [​IMG], (1)
    где [​IMG] - область плоскости [​IMG], в которую проектируется поверхность интегрирования.

    Может быть так, что поверхность интегрирования правильно проектируется на плоскость [​IMG] (и задаётся уравнением [​IMG]) или на плоскость
    [​IMG] (и задаётся уравнением [​IMG]). Тогда формула, по которой вычисляется интеграл, немного корректируется:
    [​IMG] (2)
    или
    [​IMG]. (3)
    Конечно, запоминать такие формулы не рекомендуется: легко что-нибудь перепутать - лучше восстанавливать их применительно к конкретному
    расчёту заново, исходя из формулы для вектора нормали и площади малого элемента поверхности.

    Есть один выделенный случай, когда поверхность правильно проектируется на все три координатные плоскости, т.е. из уравнения поверхности любая переменная
    может быть выражена однозначно. Тогда расчёт существенно упрощается. Обратите внимание на структуру формул (1) - (3). В каждой из них можно выделить три
    слагаемых, причём одно из них выглядит проще других. При проектировании поверхности на плоскость [​IMG] это слагаемое, содержащее компоненту
    поля [​IMG]; при проектировании на плоскость [​IMG] это слагаемое, содержащее компоненту [​IMG]; при проектировании на плоскость [​IMG] это слагаемое,
    содержащее компоненту [​IMG]. Если поверхность правильно проектируется на любую координатную плоскость, то мы разобьём интеграл
    на три части и спроектируем каждую часть наиболее удобным способом:
    [​IMG].

    Наконец, случай параметрического задания поверхности
    [​IMG].
    Как и при вычислении поверхностного интеграла первого рода, нужно считать три якобиана:
    [​IMG].
    Через них выражаются направляющие косинусы нормали:
    [​IMG],
    элемент поверхности
    [​IMG].
    Таким образом, для интеграла получаем
    [​IMG],
    где [​IMG] - область изменения параметров, соответствующая поверхности интегрирования.

    4. Формула Стокса. Формула Остроградского-Гаусса

    С поверхностным интегралом второго рода связаны две формулы, находящие разнообразные применения, в том числе в физических приложениях.
    Формула Стокса:
    [​IMG],
    где [​IMG],
    поверхность [​IMG] натянута на контур [​IMG], обход контура согласован с выбором нормали к поверхности по правилу правого винта.
    Уточнения требуются, если поверхность интегрирования имеет "дырки".
    Формула Грина является частным случаем этой формулы. Кроме того, из формулы Стокса следует условие независимости криволинейного интеграла второго
    рода от формы пути.

    Формула Остроградского-Гаусса.
    Для векторного поля [​IMG] выполняется формула
    [​IMG]
    где поверхность [​IMG] ограничивает объём [​IMG].

    Формула Остроградского-Гаусса имеет разные применения. Остановимся на двух из них. Во-первых, легко доказать, что объём тела может быть вычислен
    по формуле
    [​IMG]

    Во-вторых, иногда бывает необходимо вычислить поверхностный интеграл второго рода по незамкнутой поверхности, связанный с громоздким расчётом.
    Тогда поверхность замыкают, преобразуют интеграл к тройному и вычитают интеграл по добавленной поверхности (см. пример ниже).

    Замечание. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса удобнее записываются в векторном анализе с использованием ротора и дивергенции векторного поля.

    Примеры вычисления поверхностных интегралов второго рода

    Пример 1. Интеграл по плоскости.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по внешней стороне части плоскости [​IMG], расположенной в первом октанте.
    [​IMG]
    Перепишем интеграл в виде
    [​IMG].
    Проведём вычисление двумя способами: сначала зададим плоскость явным образом; во втором способе учтём, что поверхность интегрирования правильно
    проектируется на все три координатные плоскости.
    Итак, поверхность можно задать уравнением [​IMG]. Тогда вектор нормали
    [​IMG].
    Вычислять корень в знаменателе не имеет смысла: он всё равно сократится с корнем, входящим в элемент поверхности. Таким образом, интеграл примет вид:
    [​IMG].
    Осталось вычислить двойной интеграл по области, изображённой на рис. 4б. Покажем только расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле:
    [​IMG]

    Теперь воспользуемся тем, что поверхность интегрирования правильно проектируется на все три координатные плоскости. Разобьём интеграл на два слагаемых.
    В первом слагаемом проектируем поверхность на плоскость [​IMG], во втором - на плоскость [​IMG]. Тогда получим
    [​IMG].
    Нужно вычислить два двойных интеграла по областям, изображённым на рис. 4в и рис. 4г соответственно.
    [​IMG]

    Замечание. Ответ можно было получить сразу, вычислив объём пирамиды, ограниченной поверхностью интегрирования и координатными плоскостями, и удвоив его.
    Это обсновывается с помощью формулы Остроградского-Гаусса.


    Пример 2. Интеграл по поверхности, правильно проектирующейся на одну координатную плоскость.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по расположенной во втором октанте ([​IMG]) части эллиптического параболоида [​IMG] (нормаль внешняя).

    Перепишем интеграл в виде
    [​IMG].
    Поверхность иинтегрирования - эллиптический параболоид - правильно проектируется только на плоскость [​IMG], поэтому записываем уравнение поверхности в виде
    [​IMG].
    Находим единичный вектор нормали:
    [​IMG].
    Комментарий по поводу корня в знаменателе тот же, что и в примере 1. Преобразуем поверхностный интеграл к двойному:
    [​IMG]
    [​IMG],
    область интегрирования - четверть круга [​IMG].
    Интегрирование удобно проводить в полярных координатах:
    [​IMG]

    Пример 3. Интеграл по поверхности, заданной параметрически.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по части верхней поверхности геликоида [​IMG], соответствующей изменению параметров в пределах
    [​IMG].

    При вычислении интеграла потребуются три якобиана, которые нужно вычислить предварительно:
    [​IMG]
    Поверхностный интеграл сводится к следующему двойному:
    [​IMG],
    где нужно выполнить замену переменных [​IMG], используя параметризацию поверхности. Область интегрирования - прямоугольник.
    [​IMG]

    Пример 4. Применение формулы Остроградского-Гаусса к вычислению интегралов по замкнутым поверхностям.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по внешней поверхности эллипсоида [​IMG].

    Применим к интегралу формулу Остроградского-Гаусса:
    [​IMG].
    Такой интеграл равен утроенному объёму эллипсоида. Интеграл легко вычисляется переходом к обобщённым сферическим координатам и равен
    [​IMG].

    Пример 5. Применение формулы Остроградского-Гаусса к вычислению интегралов по незамкнутым поверхностям.
    Вычислить интеграл
    [​IMG]
    по боковой поверхности конуса [​IMG] (нормаль внешняя).

    Если бы поверхность интегрирования содержала круг [​IMG], то к интегралу можно было бы применить теорему Остроградского-Гаусса -
    он был бы равен объёму конуса [​IMG]. Замкнём поверхность интегрирования указанным кругом [​IMG], тогда
    [​IMG]
    А интеграл по поверхности [​IMG] вычисляется элементарно:
    [​IMG],
    где [​IMG] - проекция круга [​IMG] на плоскость [​IMG]. Итак, исходный интеграл равен
    [​IMG]
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей