Теоретический минимум

В математической физике при рассмотрении задач, связанных с решением уравнений в частных производных второго порядка, всегда концентрируются
на анализе некоторых основных уравнений: Пуассона, теплопроводности, волнового уравнения. Связано это с возможностью приведения уравнений второго
порядка к т.н. каноническому виду, а именно к тем самым перечисленным только что уравнениям.

Рассмотрим уравнение второго порядка общего вида:
,
где . При этом будем считать без ограничения общности, что матрица коэффициентов симметрическая, т.е.
(это фактически требование независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Далее будем называть эту матрицу матрицей старших
коэффициентов. Строго говоря, одно и то же уравнение в различных точках может относиться к разным типам классификации. Пример будет приведён позже.
В связи с этим замечанием будем говорить о матрице старших коэффициентов в определённой точке. Считаем, что матрица старших коэффициентов представляет
собой матрицу некоторой квадратичной формы. Эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. диагональному виду с коэффициентами, равными по модулю
нулю или единице. Напомним, что число положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных
коэффициентов – отрицательным индексом формы, а число нулевых коэффициентов – дефектом формы. Уравнения можно классифицировать при помощи этих
трёх чисел, которые и будем указывать в порядке их перечисления: . Сумма этих трёх чисел равна количеству независимых переменных.
При этом ясно, что умножение всего уравнения на минус единицу приведёт к тому, что все элементы матрицы старших коэффициентов поменяют знак. Следовательно,
положительный и отрицательный индексы соответствующей формы поменяются ролями. Таким образом, уравнения и принадлежат
к одному типу классификации.
Перечислим основные классы уравнений:
- гиперболическое
- параболическое
- эллиптическое
- ультрагиперболическое
- эллиптико-параболическое
Последние два типа уравнений в стандартных курсах не обсуждаются.

Словесно эту классификацию можно сформулировать следующим образом. Уравнение гиперболическое, если дефект соответствующей квадратичной формы
равен нулю, а один из индексов равен единице. Уравнение параболическое, если его форма имеет равный единице дефект и все коэффициенты одного знака.
Уравнение эллиптическое, если дефект его формы равен нулю и все коэффициенты имеют одинаковый знак.

Примеры уравнений различных типов

Пример 1. Уравнение теплопроводности.

Уравнение параболического типа.

Пример 2. Волновое уравнение.

Уравнение гиперболического типа.

Пример 3. Уравнение Пуассона.

В частности, если справа стоит нуль, то получается уравнение Лапласа.
Уравнение эллиптического типа.

Пример 4. Уравнение Гельмгольца.

Уравнение эллиптического типа.

Пример 5. Уравнение Трикоми.

Если , то уравнение эллиптическое; если , то уравнение параболическое; если , то уравнение гиперболическое.

Подробнее рассмотрим случай, когда неизвестная функция имеет всего два аргумента:
.
Коэффициенты являются функциями переменных и (в принципе, возможна зависимость и от неизвестной функции (в этом случае уравнение
будет квазилинейным; мы ограничиваемся линейными уравнениями). Уравнение общего вида может быть упрощено путём замены независимых переменных -
приведено к каноническому виду. Этот канонический вид, как и вид замены определяется характеристическим уравнением
.
Характеристическое уравнение, будучи квадратным уравнением относительно производной сразу распадается на два.

Знак подкоренного выражения и определяет тип уравнения.

Гиперболические уравнения
Это случай, когда . Общие интегралы характеристического уравнения .
Выполняется замена .

Параболические уравнения
Это случай, когда . Общий интеграл характеристического уравнения .
Выполняется замена , где - произвольная дважды дифференцируемая функция, для которой выполняется
условие .

Эллиптические уравнения
Это случай, когда . Общий интеграл характеристического уравнения . Выполняется замена
.

Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых требуется привести уравнение к каноническому виду. Центральную роль в этих примерах играет техника
замены переменных, потому что саму замену указать обычно довольно просто. Совсем просто выполняется линейная замена переменных (случай уравнения с
постоянными коэффициентами).
Замечание. Разумеется при замене переменных есть некоторая свобода. Например, в любом случае замена определяется с точностью до знака, не играющего существенной роли в
преобразовании производных. Также неоднозначность вносит в случае параболического уравнения свобода выбора второй функции для замены переменных, ограниченная весьма
слабыми условиями.

Примеры приведения уравнений второго порядка к каноническому виду

Пример 1. Случай линейной замены переменных в уравнении гиперболического типа.


Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к гиперболическому типу. Находим общие интегралы найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные. В данном случае можно считать, что функция зависит от переменных ,
которые в свою очередь зависят от старых переменных :




.
После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.

Пример 2. Случай линейной замены переменных в уравнении эллиптического типа.


Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к эллиптическому типу. Находим общий интеграл любого из найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные совершенно аналогично тому, как это делалось в примере 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.

Пример 3. Случай линейной замены переменных в уравнении параболического типа.


Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к параболическому типу. Находим общий интеграл найденного уравнения:
.
Отсюда понятно, какой может быть выбрана одна переменная: . Вторую переменную следует выбрать самостоятельно.
Обычно её выбирают наиболее простой, чтобы не усложнять вычисления. Рассмотрим два варианта, чтобы посмотреть, как влияет выбор второй
переменной на окончательный вид уравнения. Сначала положим . Снова преобразуем производные аналогично примеру 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.

Теперь выберем , тогда



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.
В общем, для дифференциальных уравнений вполне обычная вещь: какая-то замена удачнее, какая-то хуже. Главное здесь, что часть, содержащая
старшие производные, после преобразований выглядит в обоих случаях одинаково.

Пример 4. Случай нелинейной замены переменных в уравнении параболического типа.


Сразу приведём характеристическое уравнение:
.
Его общий интеграл ,
поэтому введём переменную . Вторую переменную выберем, как и в примере 3, максимально простой .
Второй простейший вариант каждый может рассмотреть сам по своему желанию.
Техника замены переменных здесь немного сложнее, поэтому покажем её подробно. Усложнение возникает при вычислении вторых производных.
Дело в том, что при этом под знаком производной по новому аргументу начнут появляться старые переменные. Потребуется вычислять эти производные
отдельно. Поэтому используется несколько другой вариант.


Теперь при вычислении вторых производных потребуются только следующие простые формулы:


С их помощью продолжаем преобразование производных:





.
Подставляем в уравнение:
.
Осталось избавиться от старых переменных (главным образом, от переменной ):
.
В результате уравнение принимает вид
.

Спасибо за теорминимум. Пытаюсь разобраться к какому типу относятся уравнения Эйнштейна при разных координатных условиях и в разных задачах и как определять характеристики и главное, какой в них физический смысл и погряз. Если сможете просвятить хот я бы для конкретной задачи, было бы здорово.

Может я задал слишком неконкретный вопрос. Тогда более конкретно, хотелось бы более подробно разъяснить, как находится характеристическая матрица, и какое она имеет значение в решении уравнений с частными производными? Я видимо это основательно забыл.