Теоретический минимум

Вычетом функции в особой точке по определению называется величина

Контур интегрирования должен охватывать только одну особую точку , причём она должна быть изолированной
и являться точкой однозначного характера.
Обычно по определению вычеты не вычисляют: это неудобно. Можно показать, что вычет функции в точке представляет собой
коэффициент при минус первой степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности данной точки. Это упрощает вычисление,
так как появляется возможность использовать приёмы разложения функции в ряд Лорана, не связанные с вычислением контурных
интегралов. Тут многое зависит от вида особой точки. В разложении функции в ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки
отрицательные степени отсутствуют. Следовательно, и вычет в такой точке равен нулю. Разложение в ряд Лорана в окрестности полюса
содержит конечное число отрицательных степеней. В этом случае для полюса n-го порядка

Чаще всего применяется именно эта формула. Для простого полюса (полюса первого порядка) формула сильно упрощается:

Отдельно рассматривается вычет в бесконечно удалённой точке. Он равен взятому с противоположным знаком коэффициенту при
минус первой степени разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

Вычеты находят применение при вычислении интегралов по основной теореме о вычетах.


Примеры вычисления вычетов

Пример 1. Вычет функции в простом полюсе.
Найдём вычет функции в точке .



Пример 2. Вычет функции в полюсе третьего порядка.
Найдём вычет функции в точке .

Убедиться в том, что точка - полюс третьего порядка, достаточно просто. Котангенс в числителе сам по себе имеет в этой
точке простой полюс, функция в знаменателе делает данную точку полюсом именно третьего порядка.




Для вычисления этого предела раскладываем функции в числителе в ряд Тейлора. Причём так как в знаменателе
сразу получится третья степень - в первом же слагаемом, то и в числителе следует проводить разложение до кубических слагаемых:
.
Примечание. Этот расчёт приходится проделывать при вычислении значения дзета-функции Римана .

Пример 3. Вычет функции в полюсе второго порядка.
Найдём вычет функции в точке .

Хотя особая точка является полюсом второго порядка, пользоваться приведённой выше общей формулой для
вычетов в полюсах не будем. Проведём разложение в ряд Лорана:


Видно, что коэффициент при минус первой степени равен . Это и есть искомый вычет.

Пример 4. Вычет функции в бесконечно удалённой точке.
Найдём вычет функции в бесконечно удалённой точке.

Представим функцию в следующем виде:

Экспоненту можно разложить в ряд по известной формуле, для дроби используем разложение, представляющее собой сумму геометрической прогрессии:

Видно, что после перемножения скобок при минус первой степени останется число 2. Следовательно, вычет равен (-2).

Помнится, когда нам Теляковский рассказывал про вычеты, я сидел с открытым ртом и думал «вау, как красиво».

Реквестирую аналогичную тему про особые точки :huh: Завтра сдавать.

Schufter, большое спасибо! Как раз во время!

еще одна формула для вычета в простом полюсе.
пусть - простой полюс для функции
и ;
тогда вычет

формулы не умею набирать

Набрал формулы=) Silver MC's

panicdoctor, да, такая формула есть, конечно. Но на мой взгляд лучше помнить общую формулу для вычета в полюсе
любого порядка, чем помнить дополнительно ещё одну формулу. Тем более, что в простом полюсе вычет обычно находится легко. :huh:
Но подчеркну: формула есть, если есть желание - ей можно пользоваться. Просто высказал своё мнение.