1. Уважаемые друзья!

    С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
    Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

    Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

    Всегда ваша,
    Администрация Корума

ТАУ. Передаточные функции

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем ovchar, 6 янв 2014.

Модераторы: onyx
  1. ovchar

    ovchar Корумчанин

    Динамическая система в теории автоматического управления может быть задана в виде системы дифференциальных уравнений:
    [​IMG], [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG], [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    Здесь [​IMG] - переменные пространства состояний, [​IMG] - их значения в начальный момент времени, [​IMG] - входы системы. Здесь все переменные зависят от времени.
    Выходы системы обозначены буквами [​IMG] - просто функции от переменных состояния, поэтому они задаются в виде алгебраических, не дифференциальных уравнений.
    Это наиболее общий случай. Теперь будем упрощать задачу, и рассматривать всё более частные случаи.
    Упрощение 1. Система линейная и стационарная
    То есть система уравнений превращается в систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами
    [​IMG], [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG], [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    Такая запись называется записью в форме Коши.
    Упрощение 2. Нулевые начальные условия
    На данном этапе принимается, что начальные условия всех переменных состояния равны нулю, то есть
    [​IMG]. Так что дальше запись начальных условий опускаем.
    Кстати, на сейчас можно перейти к более краткой матричной записи уравнений:
    [​IMG]
    [​IMG]
    Здесь [​IMG], [​IMG], [​IMG] - вектора переменных состояния и их производных и вектор входных величин. [​IMG] - матрицы, состоящие из констант. Их размеры [​IMG] для краткости опускаются. Еще раз напомню: [​IMG] - количество переменных состояния, [​IMG] - количество входов, [​IMG] - количество выходов.
    Решив систему уравнений, можно найти зависимость любого выхода [​IMG] от любого входа [​IMG] в любой момент времени.
    Переход к преобразованиям Лапласа
    Дальше удобнее будет записать ту же самую систему, но в операторной форме. То есть оператор дифференцирования заменится буквой [​IMG], которая будет обозначать дифференцирование.
    Так как в левой части первого уравнения стоит вектор [​IMG], его придется преобразовать к виду [​IMG], где [​IMG] - единичная матрица того же размера, что вектор [​IMG]. Это может показаться сложным, но нужно вспомнить, как умножается матрица на вектор.
    Нужно заметить, что теперь все переменные зависят не от времени, а от переменной [​IMG].
    Таким образом, получаем:
    [​IMG]
    [​IMG]
    Теперь в первом уравнении можно выразить вектор состояния:
    [​IMG]
    и далее подставить во второе уравнение:
    [​IMG], а затем вынести [​IMG] за скобку:
    [​IMG]
    Факт в том, что удалось получить зависимость всех выходов от всех входов, правда, пока в терминах преобразования Лапласа.
    Можно обозначить [​IMG], тогда [​IMG], и матрицу [​IMG] логично назвать передаточной матрицей системы.
    Кстати, эта матрица состоит из скалярных функций [​IMG]
    [​IMG]
    Здесь [​IMG] - передаточная функция от i'го входа к j'ому выходу, то есть
    [​IMG], или [​IMG]
    Таким образом, пришли к определению.
    Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.
    В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.
  2. ovchar

    ovchar Корумчанин

    Зная передаточную функцию системы [​IMG] можно определить некоторые дополнительные параметры:
    • АЧХ или ЛАЧХ - (логарифмическая) амплитудно-частотная характеристика
    • ФЧХ или ЛФЧХ - (логарифмическая) фазо-частотная характеристика
    • Годограф - зависимость между действительной и мнимой частями передаточной функции
    • Переходная характеристика - зависимость сигнала на выходе от времени [​IMG] при подаче на вход системы единичной ступени [​IMG]
    • Импульсная характеристика - зависимость сигнала на выходе от времени [​IMG] при подаче на вход системы дельта-функции [​IMG]
    Замечание 1. Иногда АЧХ и ФЧХ называют объединяют в одну аббревиатуру - АФЧХ.
    Но обычно удобнее использовать логарифмические характеристики. Преимуществ у них два:
    • Графики АЧХ близки к кусочно-линейным
    • Если передаточная функция получена перемножением двух других, логарифм переведет произведение в сумму, а последнюю легче изобразить на графике: [​IMG]. Логарифм используют десятичный. Умножение на постоянный коэффициент [​IMG] просто сместит амплитудную характеристику вверх или вниз на [​IMG]
    Замечание 2. Чтобы получить зависимость передаточной функции от частоты [​IMG], нужно перейти от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье (действительная часть оператора [​IMG] обращается в ноль, т.е. происходит замена [​IMG]). Здесь [​IMG] обозначает мнимую единицу.
    Тогда передаточную функцию можно представить в виде двух действительных функций частоты: [​IMG]. Функция [​IMG] параметрически зависит от функции [​IMG]. График такой зависимости [​IMG] при изменении частоты [​IMG] в пределах [​IMG] называется годографом.
    Иногда годограф рисуют только для частот в пределах [​IMG], дальше годографы будут рисоваться именно в этих пределах.

    Замечание 3. Так как вычисления выходного сигнала будут производиться в терминах преобразования Лапласа, нужно сначала вспомнить преобразования Лапласа для входных сигналов: ступеньки и дельта-функции.
    [​IMG]
    [​IMG]
    Чтобы получить изображение выходного сигнала, нужно, из определения передаточной функции, умножить изображение входного сигнала на передаточную функцию: [​IMG]. После чего привести получившуюся функцию к виду табличных, и восстановить оригинал (то есть выполнить обратное преобразование Лапласа).
    Иногда восстанавливать оригинал легче, если вспомнить, что [​IMG] - оператор дифференцирования. Например, если [​IMG], то [​IMG].
    Кстати, из этого следует, что если известна переходная характеристика [​IMG], то импульсную [​IMG] можно получить просто дифференцированием: [​IMG], ведь изображение входных сигналов отличаются как раз множителем [​IMG].

    Вложения:

    • Laplas.gif
      Laplas.gif
      Размер файла:
      15,5 КБ
      Просмотров:
      4.673
    Kesha нравится это.
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей