Проверьте себя!

Schufter · 25 июн 2013

В этой теме каждый может проверить своё знание высшей математики. Я подобрал несколько задач, которые на мой взгляд
может решить человек, владеющий на минимальном допустимом уровне аппаратом высшей математики. Задачи не являются
совершенно отвлечёнными от жизни, т.е. они вполне могут встретиться в тех или иных физических задачах. Они не упорядочены
ни по сложности, ни по разделам.
Сейчас Вашему вниманию предлагаются 20 задач, которые должен уметь решать студент, закончивший первый курс.
Позже появится аналогичный список для второго курса. Да, ответы не прилагаются. Если очень захочется себя проверить -
пишите личное сообщение :huh:

1. Эллипс, заданный уравнением $[IMG]$ вписан в прямоугольник, стороны которого
параллельны координатным осям. Найти площадь этого прямоугольника.

2. Вычислить интеграл $[IMG]$ .

3. Вычислить определитель порядка $[IMG]$ :
$[IMG]$

4. Привести число $[IMG]$ к виду $[IMG]$ .

5. Вычислить производную функции $[IMG]$ .
Замечание. Если $[IMG]$ , то $[IMG]$ .

6. Линия задана в полярных координатах уравнением $[IMG]$ . Построить эту линию и найти ограниченную ей площадь.

7. Вычислить интеграл $[IMG]$ .

8. Определить, что собой представляет поверхность, заданная уравнением $[IMG]$ .
Привести уравнение к каноническому виду.

9. Привести к нормальному виду квадратичную форму $[IMG]$ . Указать выполненное преобразование.

10. Построить график функции $[IMG]$ .

11. Исследовать на экстремумы функцию $[IMG]$ , заданную на окружности $[IMG]$ .

12. В треугольнике с вершинами $[IMG]$ проведена высота $[IMG]$ . Найти её длину.

13. Вычислить интеграл $[IMG]$ .

14. Вычислить предел $[IMG]$ .

15. Найти собственные значения и векторы оператора, матрица которого в некотором базисе имеет вид
$[IMG]$ .

16. Имеется дважды непрерывно дифференцируемая функция $[IMG]$ . В выражении $[IMG]$
перейти к переменным $[IMG]$ , которые связаны с переменными $[IMG]$ соотношениями $[IMG]$ .

17. Тело образовано вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линией $[IMG]$ .
Найти объём этого тела и площадь его поверхности.

18. Решить систему уравнений
$[IMG]$ .

19. Вычислить $[IMG]$ , если $[IMG]$ .

20. Разложить по формуле Тейлора вплоть до слагаемых четвёртого порядка функцию $[IMG]$ при $[IMG]$ .

Sean33 · 26 июн 2013

Schufter, вот это интересно пойду решать. Как раз делать нефига, к экзаменам ну никак не готовится :huh:

panicdoctor · 26 июн 2013

Schufter, отличная подборка

Schufter · 26 июн 2013

Sean33, panicdoctor, спасибо :huh:

Schufter · 2 июл 2013

А вот и серия задач для закончивших второй курс и желающих проверить себя. Напоминаю: задачи не упорядочены ни по разделам,
ни по сложности.

1. Разложить в ряд Фурье функцию $[IMG]$ .

2. Упростить выражение $[IMG]$ .

3. Решить уравнение $[IMG]$ .

4. Разложить функцию $[IMG]$ в ряд Лорана в кольце $[IMG]$ .

5. Найти векторные линии поля $[IMG]$ .

6. Решить систему уравнений:
$[IMG]$ .

7. Исследовать на равномерную сходимость на интервале $[IMG]$ ряд $[IMG]$ .

8. Вычислить интеграл $[IMG]$ .

9. Дан вектор $[IMG]$ , где интеграл вычисляется по всему пространству, вектор $[IMG]$ постоянный. Найти его проекцию на вектор $[IMG]$ .

10. Решить уравнение
$[IMG]$ .

11. Решить задачу Коши
$[IMG]$ .

12. Вещественная часть аналитической функции аргумента $[IMG]$ представляет собой функцию $[IMG]$ .
Найти мнимую часть этой функции.

13. Найти особые точки системы и классифицировать их:
$[IMG]$ .

14. Отобразить область $[IMG]$ на верхнюю полуплоскость.

15. Найти экстремали функционала $[IMG]$ .

16. Вычислить поток поля $[IMG]$ через поверхность $[IMG]$ в направлении внутренней нормали.

17. Поиском решения в виде ряда решить уравнение
$[IMG]$ .

18. Решить задачу Коши:
$[IMG]$ .

19. Вычислить интеграл $[IMG]$ по поверхности, заданной параметрически $[IMG]$
при условии $[IMG]$ .

20. Решить уравнение
$[IMG]$ ,
если $[IMG]$ .