МА. Предел функции. Определение на языке "эпсилон-дельта"

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем Schufter, 11 июл 2013.

Модераторы: onyx
  1. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Теоретический минимум

    Понятие предела применительно к числовым последовательностям уже вводилось в теме "МА. Предел последовательности. Определение на языке "эпсилон-дельта".
    Рекомендуется сначала ознакомиться с содержащимся там материалом.

    Переходя к предмету этой темы, напомним понятие функции. Функция представляет собой очередной пример отображения. Мы будем рассматривать самый простой случай
    вещественной функции одного вещественного аргумента (в чём заключается сложность других случаев - будет сказано позже). Функция в рамках этой темы понимается как
    закон, по которому каждому элементу [​IMG] множества [​IMG], на котором определена функция, ставится в соответствие один или несколько элементов [​IMG]
    множества [​IMG], называемого множеством значений функции. Если каждому элементу области определения функции ставится в соответствие один элемент
    множества значений, то функция называется однозначной, в противном случае функция называется многозначной. Мы здесь будем говорить для простоты только об
    однозначных функциях.

    Сразу хотелось бы подчеркнуть принципиальное отличие функции от последовательности: существенно различны множества, связанные отображением в этих двух случаях.
    Чтобы избежать необходимости использовать терминологию общей топологии, поясним различие с помощью неточных рассуждений. При обсуждении предела
    последовательности мы говорили только об одном варианте: неограниченный рост номера элемента последовательности. При этом росте номера сами элементы
    последовательности вели себя гораздо разнообразнее. Они могли "накапливаться" в малой окрестности некоторого числа; они могли неограниченно расти и т.п.
    Грубо говоря, задание последовательности - задание функции на дискретной "области определения". Если же говорить о функции, определение которой дано
    в начале темы, то понятие предела следует строить аккуратнее. Имеет смысл говорить о пределе функции при стремлении её аргумента к определённому значению [​IMG].
    Такая постановка вопроса не имела смысла применительно к последовательностям. Возникает необходимость внести некоторые уточнения. Все они связаны с тем,
    как именно аргумент стремится к тому значению [​IMG], о котором идёт речь.

    Рассмотрим несколько примеров - пока что вскользь:
    [​IMG]
    [​IMG]
    Эти функции позволят нам рассмотреть самые разные случаи. Приведём здесь же графики этих функций для большей наглядности изложения.
    [​IMG]

    Функция [​IMG] в любой точке области определения имеет предел - это понятно интуитивно. Какую бы точку области определения мы ни взяли,
    сразу можно сказать, к какому значению стремится функция, при стремлении аргумента к выбранному значению, причём предел будет конечным, если только аргумент
    не стремится к бесконечности. График функции [​IMG] имеет излом. Это сказывается на свойствах функции в точке излома, но с точки зрения предела
    эта точка ничем не выделена. Функция [​IMG] уже интереснее: в точке [​IMG] непонятно, какое значение предела приписать функции.
    Если мы подходим к точке [​IMG] справа, то функция стремится к одному значению, если слева - функция стремится к другому значению. В предыдущих
    примерах такого не было. Функция [​IMG] при стремлении к нулю хоть слева, хоть справа ведёт себя одинаково, стремясь к бесконечности -
    в отличие от функции [​IMG], которая при стремлении аргумента к нулю стремится к бесконечности, но знак бесконечности зависит от того, с какой
    стороны мы подходим к нулю. Наконец, функция [​IMG] ведёт себя в нуле совершенно непонятно.

    Формализуем понятие предела с помощью языка "эпсилон-дельта". Основное отличие от определения предела последовательности будет заключаться в необходимости
    прописать стремление аргумента функции к некоторому значению. Для этого требуется вспомогательное в данном контексте понятие предельной точки множества.
    Точка [​IMG] называется предельной точкой множества [​IMG], если в любой окрестности [​IMG] содержится бесчисленное множество точек,
    принадлежащих [​IMG] и отличных от [​IMG]. Чуть позже станет ясно, зачем требуется давать такое определение.

    Итак, число [​IMG] называется пределом функции [​IMG] в точке [​IMG], являющейся предельной точкой множества [​IMG], на котором определена
    функция, если
    [​IMG]
    Последовательно разберём это определение. Выделим здесь части, связанные со стремлением аргумента к значению [​IMG] и со стремлением функции
    к значению [​IMG]. Следует понимать общий смысл записанного утверждения, который приближённо можно трактовать следующим образом.
    Функция [​IMG] стремится к [​IMG] при [​IMG], если взяв число из достаточно малой окрестности точки [​IMG], мы будем
    получать значение функции из достаточно малой окрестности числа [​IMG]. И чем меньше будет окрестность точки [​IMG], из которой берутся значения
    аргумента, тем меньше станет окрестность точки [​IMG], в которую будут попадать соответствующие значения функции.

    Снова вернёмся к формальному определению предела и прочитаем его в свете только что сказанного. Положительное число [​IMG] ограничивает окрестность
    точки [​IMG], из которой будем брать значения аргумента. Причём значения аргумента, конечно, из области определения функции и не совпадающие с самой
    точкой [​IMG]: мы ведь стремление пишем, а не совпадение! Так вот если мы возьмём значение аргумента из указанной [​IMG]-окрестности точки [​IMG],
    то значение функции попадёт в [​IMG]-окрестности точки [​IMG] [​IMG].
    Наконец, сводим определение воедино. Какой бы малой мы ни выбрали [​IMG]-окрестность точки [​IMG], всегда найдётся такая [​IMG]-окрестность точки [​IMG],
    что при выборе значений аргумента из неё мы попадём в окрестность точки [​IMG]. Разумеется, размер [​IMG]-окрестности точки [​IMG] при этом
    зависит от того, какая была задана окрестность точки [​IMG]. Если окрестность значения функции будет достаточно велика, то и соответствующий разброс значений
    аргумента будет большим. С уменьшением окрестности значения функции уменьшится и соответствующий разброс значений аргумента (см. рис. 2).
    [​IMG]

    Осталось уточнить некоторые детали. Во-первых, требование, чтобы точка [​IMG] была предельной, избавляет от необходимости заботиться, что точка
    из [​IMG]-окрестности вообще принадлежит области определения функции. Во-вторых, участие в определении предела условия [​IMG] означает,
    что аргумент может стремиться к значению [​IMG] как слева, так и справа.

    Для случая, когда аргумент функции стремится к бесконечности, следует отдельно определить понятие предельной точки. [​IMG] называется предельной
    точкой множества [​IMG], если для любого положительного числа [​IMG] в интервале [​IMG] содержится бесчисленное множество
    точек из множества [​IMG].

    Вернёмся к примерам. Функция [​IMG] особого интереса для нас не представляет. Разберёмся подробнее с другими функциями.

    Примеры.

    Пример 1. График функции имеет излом.
    Функция [​IMG] несмотря на особенность в точке [​IMG] имеет в этой точке предел. Особенность в нуле - потеря гладкости.

    Пример 2. Односторонние пределы.
    Функция [​IMG] в точке [​IMG] не имеет предела. Как уже отмечалось, для существования предела требуется, чтобы при стремлении [​IMG]
    слева и справа функция стремилась к одному и тому же значению. Здесь это, очевидно, не выполняется. Однако можно ввести понятие одностороннего предела.
    Если аргумент стремится к данному значению со стороны бòльших значений, то говорят о правостороннем пределе; если со стороны меньших значений -
    о левостороннем пределе.
    В случае функции [​IMG]
    [​IMG] - правосторонний предел
    [​IMG] - левосторонний предел

    На языке "эпсилон-дельта" формальное определение одностороннего предела [​IMG]:
    [​IMG]
    Аналогично даётся определение левостороннего предела.

    Пример 3. Бесконечный предел и предел на бесконечности.
    Функция [​IMG] в точке [​IMG] имеет бесконечный предел. Формальное определение бесконечного предела
    [​IMG].

    А вот функция [​IMG] в точке [​IMG] предела не имеет. Зато она имеет там односторонние пределы: правосторонний [​IMG] и левосторонний [​IMG].

    Обе эти функции имеют пределы при [​IMG], равные нулю. Формальное определение предела на бесконечности: [​IMG]
    [​IMG].

    Пример 4. Отсутствие односторонних пределов.
    Функция [​IMG] в точке [​IMG] не только не имеет предела, она не имеет там даже односторонних пределов. Действительно, при стремлении
    аргумента к нулю со стороны положительных или отрицательных значений дробь [​IMG] по модулю неограниченно растёт. Синус не имеет на бесконечности
    определённого значения. Поэтому и односторонние пределы в точке [​IMG] не существуют.
    Однако можно привести пример, когда бесконечные колебания синуса не мешают существованию предела (причём двустороннего).
    Примером может служить функция [​IMG]. График приведён ниже; по понятным причинам построить его до конца в окрестности
    начала координат невозможно. Предел при [​IMG] равен нулю.
    [​IMG]

    Замечания.
    1. Существует подход к определению предела функции, использующий предел последовательности - т.н. определение Гейне. Там строится последовательность точек, сходящаяся к требуемому значению
    аргумента - тогда соответствующая последовательность значений функции сходится к пределу функции при этом значении аргумента. Эквивалентность определения Гейне и определения на языке
    "эпсилон-дельта" доказывается.
    2. Случай функций двух и более аргументов усложняется тем, что для существования предела в точке требуется, чтобы значение предела получалось одним и тем же при любом способе стремления аргумента
    к требуемому значению. Если аргумент один, то стремиться к требуемому значению можно слева или справа. В случае большего количества переменных число вариантов резко возрастает. Случай функций
    комплексной переменной и вовсе требует отдельного разговора.
    эпсилон нравится это.
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей