Теоретический минимум

Одно из основных понятий в математике - отображение. Отображения возникают в разных разделах математики, обладают очень разными свойствами,
находят разнообразные применения, но по сути всюду отображение - закон, по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы
другого множества. Особенности отображений определяет то, какие множества связаны отображением и какие требования предъявляются к отображению
при его построении.

Обычно изучение математического анализа начинается с рассмотрения последовательностей (как правило, числовых). Числовая последовательность
представляет собой упорядоченный набор чисел (для определённости здесь говорим о вещественных числах), причём указывается способ получения первого
элемента последовательности, второго элемента и т.д. Таким образом, задание числовой последовательности - установление отображения, связывающего
множество натуральных и множество вещественных чисел. Строго говоря, число элементов последовательности может быть конечным, но нас будет интересовать
случай, когда число элементов последовательности бесконечно. Обозначается такая последовательность обычно так: или короче .

Когда последовательность задана, то не представляет принципиальной сложности найти конкретный элемент последовательности, скажем, с номером .
Возникает вопрос о том, как ведут себя элементы последовательности при неограниченном росте их номера, т.е. при . Рассмотрим три
примера: .
Выпишем первые десять элементов каждой из этих последовательностей (числа округлены, где это требовалось, до двух знаков после запятой):



Выпишем ещё сотый элемент: . Видно, что элементы последовательности растут,
постепенно приближаясь к числу 2. Элементы последовательности растут, причём из её определения ясно, что они будут
расти и дальше. Элементы третьей последовательности и вовсе меняются так, что нельзя сказать, что они растут или убывают.
Поведение элементов последовательности можно отследить с помощью следующей иллюстрации: строится график в осях "номер элемента - элемент".
В отличие от привычного графика функции в данном случае график будет представлять собой совокупность точек.


Анализ последовательностей проведён грубо и совершенно безосновательно, кроме того, не введено никаких характеристик последовательностей, которые
дали бы возможность описывать поведение элементов последовательности с ростом их номера. В математическом анализе вводится понятие предела
последовательности, к которому мы и переходим. Если говорить совсем просто, то предел числовой последовательности - число, к которому стремятся её
элементы при неограниченном росте номера элемента. Но такую формулировку, конечно, определением сделать нельзя: для этого ей не хватает точности.

Перед тем как дать определение предела последовательности, упомянем о специфических объектах, используемых для записи математических утверждений.
Это т.н. кванторы: квантор всеобщности и квантор существования . Понимать их нужно следующим образом.
Строка "" обозначает дословно "для любого элемента из множества выполняется ".
Строка "" обозначает дословно "существует элемент из множества , для которого выполняется ".
Кванторы всеобщности и существования называются двойственными по отношению друг к другу.
Также приведём правило построения отрицания утверждений. Чтобы построить отрицание утверждения, нужно заменить кванторы на двойственные,
а само утверждение на его отрицание. Позже будет показан пример построения отрицания.

Итак, число называется пределом последовательности (обозначение ), если
.
Разберём это определение. В нём корректно сформулировано то, что элементы последовательности неограниченно приближаются к числу .
Собственно, об этом и говорит неравенство . Оно определяет интервал длиной , середина которого
приходится на точку (если изображать это на вещественной оси). Смысл определения предела заключается в том, что какой бы мы ни взяли
длину интервала, которому принадлежит предел последовательности, всё равно, начиная с некоторого номера все элементы последовательности будут
находиться внутри этого интервала. Число может быть сколь угодно малым, что и обеспечивает стремление последовательности к определённому
числу. Наконец, последняя деталь: разумеется, номер элемента, начиная с которого все элементы последовательности принадлежат -окрестности
точки , зависит от размера этой окрестности. Чем меньше её размер, тем больше требуется рассмотреть элементов последовательности, прежде чем
они попадут в данную окрестность и останутся там. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится.

Примеры

Пример 1. Доказательство по определению, что число является пределом.
Покажем, как работает определение предела в конкретных случаях. Например, для рассмотренной выше последовательности .
На основе выписанных её элементов можно предположить, что её предел равен 2. Докажем это. По формальному определению для доказательства
достаточно указать номер элемента последовательности, начиная с которого при заданном будет выполнено неравенство .

Таким образом, при любом наперёд заданном элементы последовательности, начиная с номера ,
будут принадлежать -окрестности точки , следовательно, это и есть предел последовательности.

Пример 2. Бесконечный предел.
Предел может быть и бесконечным. Это формулируется следующим образом:

Здесь написано, что последовательность расходится к . Легко можно переделать это утверждение для случая, когда последовательность
расходится к или бесконечности неопределённого знака.
Под этот случай попадает рассмотренная выше последовательность . Действительно,
.
Таким образом, начиная с номера элементы последовательности оказываются больше .
Значит, последовательность расходится к .

Пример 3. Отсутствие предела.
Третья из рассматривавшихся ранее последовательностей вовсе не имеет предела. Действительно, мы не можем
выбрать сколь угодно малую окрестность какой-либо точки, чтобы, начиная с некоторого номера, элементы последовательности принадлежали выбранной
окрестности.

Пример 4. Построение отрицания определения предела.
Наконец, построим отрицание определения предела, т.е. формально запишем утверждение, что .
Ещё раз напомним, что следует заменить кванторы двойственными, а утверждение заменить противоположным:
.

Замечания.
1. Заметим, что обычно для доказательства, что некоторое число является пределом данной последовательности, или тем более, что у последовательности нет предела, определением не
пользуются. Для этого существуют другие способы, которые здесь не обсуждаются.
2. В принципе, описанные здесь теоретические построения в целом пригодны не только для числовых последовательностей, но и последовательностей, составленных не из чисел. Только тогда нужно
ввести на множестве, из элементов которого строится последовательность, соотношение упорядочения его элементов, роль которого для чисел играет модуль разности, фактически дающий расстояние
между числами на вещественной оси. Здесь мы не вдаёмся в детали этих построений.

Shufter, в общем виде индексы элементов последовательности могут быть и отрицательными.

Многие критики эпсилон-формализма говорят, что он нигде не применяется.

Хорошо бы привести историческую справку по данному вопросу. И философскую идею автора этой теории.

Что никак не влияет на общий смысл теории.

Построение основ анализа - само по себе применение. Большинство доказательств проводится вполне удобно
с помощью этого формализма.
А если ещё формальнее: это построение изучается на первых курсах? Его нужно осветить.

Ну, всё-таки здесь главным образом обсуждается собственно математическая сторона дела.

Можно еще вот такой рисунок как иллюстрацию предела последовательности добавить.



Как видно из рисунка .

Shufter, тут надо ответ на главный вопрос: почему предел изучается не только в точки, но и в ее окрестности? А дело в том, что предел в точке может аналитически быть неопределенностью, а в окрестности существовать. Например



Но если вычислить выражение



будет неопределенность

Зато в окрестности нуля, видно, что



Т. к. вблизи точки x=0 sin(x) превращается в x



и получается



Это и есть первый замечательный предел.

И тут возникают 2 вопроса: можно ли это доказать с помощью эпсилон формализма и что будет, если в окрестности точки предел не существует, а в самой точке существует.

WRX, обратите внимание: в теме заявлен предел последовательности, а не функции, поэтому я здесь ни слова не говорил
о замечательных пределах и прочих разных вещах, связанных с пределами функций.

А вот идея показать графически поведение элементов последовательности мне нравится. Если не возражаете, я в текст
вставлю соответствующие иллюстрации. Они уже готовы

P.S. Пожалуйста, посмотрите внимательно, как пишется моё имя :huh:

Schufter, я не против.

Дело в том, что последовательность и функция очень близкие понятия. Отличаются только тем, что последовательность дискретна, а функция непрерывна. Но, безусловно, это разные вещи и путать их не стоит.

Да я в курсе :huh: Я специально в тему с пределом последовательности не стал примешивать предел функций. У меня это как
отдельная тема запланировано.

Я хочу написать историческую справку. Правда, это единственное, что я знаю из матанализа
Кому высылать на премодерацию ?

Grey19, напишите, почему нет :huh: В принципе, полагаю, что не будет ничего плохого, если Вы напишете сразу -
без предварительной проверки. В случае чего потом можно подправить. Но если хотите, можете мне сначала показать.

P.S. Да, если будете использовать какие-то источники, то имеет смысл их указать в конце.