1. Как вы успели заметить, Corum немножко изменил внешний вид. Для успешной авторизации теперь необходимо вводить свой никнейм (не логин, а именно отображаемое имя), либо e-mail, на который зарегистрирован аккаунт. В случае проблем с авторизацией пишите на lamen@mephist.ru.

ЛА. Собственные значения и векторы линейных операторов

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем Schufter, 13 июн 2013.

Модераторы: Silver MC's
  1. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Теоретический минимум

    Если для линейного оператора [​IMG], действующего на линейном пространстве [​IMG],
    [​IMG],
    то вектор [​IMG] называется собственным вектором оператора [​IMG], соответствующим собственному значению [​IMG].

    Собственные значения оператора являются корнями характеристического уравнения
    [​IMG], (1)
    где [​IMG] – матрица оператора [​IMG] в некотором базисе, [​IMG] – единичная матрица.

    Согласно определению собственных векторов, для того чтобы найти их, зная собственные значения оператора, следует решить СЛАУ
    [​IMG], (2)
    Так как имеет место (1), то данная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение. Таким образом, алгоритм поиска собственных
    векторов линейного оператора следующий. Находим собственные значения, составляем СЛАУ (2) для каждого из них и решаем эту систему.

    Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение относительно [​IMG], степень которого
    равна размерности пространства [​IMG], а значит и размерности матрицы оператора [​IMG]. Среди корней этого уравнения
    могут быть и комплексные вида [​IMG]. Этим собственным значениям соответствуют комплексно сопряжённые
    собственные векторы.

    Среди корней характеристического уравнения могут быть и кратные корни. В этом случае собственному значению может
    соответствовать разное число собственных векторов (см. примеры ниже). Количество собственных векторов не может превышать
    кратности соответствующего корня характеристического уравнения.

    Примеры нахождения собственных значений и векторов линейных операторов

    Условие всех приведённых ниже задач будет одним и тем же: в некотором базисе задана матрица линейного оператора. Требуется
    найти собственные значения и собственные векторы.
    Преобразования матриц после их проведения комментируются. Разумеется, возможны и другие варианты этих преобразований.

    Пример 1. Все собственные значения оператора различны.
    [​IMG]
    Составляем характеристическое уравнение
    [​IMG].
    [​IMG].
    Переходим к поиску собственных векторов. Начинаем с вектора, соответствующего значению [​IMG]. Вычитаем это
    число из диагональных элементов матрицы оператора и преобразуем её:
    [​IMG]
    (Из второй строки вычли третью; к первой строке прибавили удвоенную вторую)
    Запишем получающуюся систему уравнений:
    [​IMG]
    Отсюда следует, что [​IMG], переменная [​IMG] не фиксируется, а потому может принимать любые значения,
    кроме нулевого.
    [​IMG]
    Аналогично поступаем с остальными собственными значениями. Для [​IMG]
    [​IMG]
    (Вторую строку разделили на (-6), третью - на два)

    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]
    Наконец, для [​IMG]:
    [​IMG]
    (Вторую строку разделили на (-4), третью - на два)

    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]

    Пример 2. Среди собственных значений оператора есть кратное, которому соответствует один собственный вектор.
    [​IMG]
    Составляем характеристическое уравнение
    [​IMG].
    [​IMG].
    Ищем собственные векторы. Начнём со значения [​IMG].
    [​IMG]
    (Ко второй строке прибавили третью, умноженную на 1,5, третью строку поделили на 2; к первой строке прибавили третью, умноженную на 4)

    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]
    Для кратного собственного значения [​IMG]
    [​IMG]
    (Ко второй строке прибавили третью; повторяющуюся строку вычеркнули; к первой строке, умноженной на 2, прибавили вторую, умноженную на (-2);
    ко второй строке прибавили первую)


    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]

    Пример 3. Среди собственных значений оператора есть кратное, которому соответствует несколько собственных векторов.
    [​IMG]
    Составляем характеристическое уравнение
    [​IMG].
    [​IMG].
    Ищем собственные векторы. Начнём со значения [​IMG].
    [​IMG]
    (Из второй строки вычли третью, третью строку поделили на (-3); к первой строке прибавили третью, умноженную на 2)

    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]
    Для кратного собственного значения [​IMG]
    [​IMG]

    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], а переменной [​IMG] – значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]
    Замечание. Обратите внимание: константы [​IMG] произвольны (главное, чтобы собственный вектор не обратился в нуль,
    поэтому эти константы можно вводить с любыми ненулевыми числовыми множителями - из соображений удобства).


    Пример 4. Среди собственных значений оператора есть комплексные.
    [​IMG]
    Составляем характеристическое уравнение
    [​IMG].
    [​IMG].
    Ищем собственные векторы. Начнём со значения [​IMG].
    [​IMG]
    (Первую строку делим на 3, третью - на 4, к первой строке прибавляем вторую; из умноженной на 3 третьей строки вычли вторую)

    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]
    Для собственного значения [​IMG]
    [​IMG]
    В принципе, можно преобразовывать и матрицу, но можно и сразу перейти к системе уравнений:
    [​IMG]
    Присваивая переменной [​IMG] значение [​IMG], имеем [​IMG].
    [​IMG]
    Третий собственный вектор является комплексно сопряжённым по отношению к только что найденному.
  2. johny17

    johny17 Active Member

    одна из самых интересных и сложных тем, имхо
  3. Schufter

    Schufter Мизантроп

    johny17, что именно казалось сложным? Казалось бы, совокупность чисто механических вычислений.
    Или именно в их проведении сложность? В общем, есть возможность обсудить, пока ещё сессия идёт, и кому-то это
    может быть полезным :huh:
  4. Silver MC's

    Silver MC's Злобный тупой урод ┐(´ー`)┌ Модератор

    Schufter, а Вы будете рассматривать итерационные методы поиска собственных значений?
  5. johny17

    johny17 Active Member

    Schufter, да на самом деле сложным было запомнить всю последовательность действий правильно и не допустить ошибок в расчетах.
    а так давно это было, я уж и не помню, почему получил зачет 30 декабря :crazy:
  6. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Silver MC's, вообще, я не предполагал: в курс линейной алгебры у нас это не входит, да и я с ними дел не имел.
    Но Вы ведь можете задать вопрос здесь. Я же только тему открыл - может быть знающие люди Вам ответят.
    Или попробуем разобраться вместе.
    johny17, понятно :huh:
  7. TheEnt

    TheEnt New Member

    Все здорово, но обозначение "вектор столбца" лучше все-таки поменять на обычный вектор, только транспонированный, как это принято в литературе. Обозначение со стрелкой вниз практикуется только в МИФИ, насколько я знаю.
  8. Schufter

    Schufter Мизантроп

    TheEnt, я в первую очередь ориентируюсь именно на студентов МИФИ - чтобы не было, так сказать, разрыва
    между тем, что говорят на лекциях/семинарах, и тем, что у меня написано. Но замечание дельное, спасибо! :huh:
    Я бы склонялся к тому, чтобы сделать в тексте замечание на этот счёт. Как думаете?
  9. panicdoctor

    panicdoctor New Member

    из итерационных методов, позволяющих найти СЗ и СВ, я знаю метод вращений.
    так понимаю, актуально будет только для КиБ'a
Модераторы: Silver MC's

Поделиться этой страницей