Теоретический минимум

Алгебраические линии второго порядка достаточно часто встречаются в математике и физике, поэтому их исследование представляет собой важную
задачу. К счастью, это исследование несложно провести в наиболее общем виде до конца. В частности можно показать, что общее уравнение

приводится двумя преобразованиями к значительному более простому - каноническому виду. Эти преобразования допускают геометрическую интерпретацию.
Уравнение (1) определяет кривую одного из трёх типов (вырожденные случаи упомянем ниже отдельно): эллипс, гиперболу или параболу. Эти кривые обычно
расположены по отношению к осям координат "неудачно". Смысл преобразований, приводящих уравнение кривой к каноническому виду, заключается в
переходе к системе координат, по отношению к которой кривая будет расположена так, как показано на рис. 1 а, б, в. Обратите внимание: эллипс и гипербола имеют
центр симметрии, и начало координат совмещено с ним. Также следует отметить, что большая ось эллипса расположена вдоль оси абсцисс, а мнимая ось гиперболы -
вдоль оси ординат. У параболы вершина совмещена с началом координат, а ветви направлены вправо. Случаям рис. 1 а, б, в соответствуют уравнения

Именно к такой форме и нужно приводить уравнение кривой второго порядка: в этом случае понятно расположение кривой на координатной плоскости, и легко
определяются её основные характеристики.


Возможны два типа преобразований системы координат : параллельный перенос

(начало координат переносится в точку ) и поворот на угол (против часовой стрелки)

Параллельный перенос может исключить слагаемые, пропорциональные и ; поворот исключает слагаемое, пропорциональное .

Перед тем как начинать преобразовывать уравнение, следует вычислить т.н. малый дискриминант . Он позволяет определить тип кривой:
соответствует эллипсу, соответствует гиперболе, соответствует параболе (опять-таки
возможны случаи вырождения). Если , то первое действие - перенос начала координат в центр симметрии кривой. Выполняем
преобразование (2) и требуем обращения в нуль линейных слагаемых по переменным и . Второе действие - поворот, после которого
исчезнет слагаемое, пропорциональное .

Если , то у кривой нет центра симметрии. Поэтому сначала выполняется поворот, убирающий слагаемое, пропорциональное .
Затем выполняется сдвиг, с помощью которого вершина параболы совмещается с началом координат.

Наконец, упомянем о вырожденных случаях. Эллипс может выродиться в точку или вовсе стать мнимым
. Гипербола может выродиться в две пересекающиеся прямые .
Парабола может выродиться в две параллельные прямые , одну прямую или две мнимые прямые ().

Заметим, что несложно вывести формулы, с помощью которых можно сразу по уравнению (1) указать преобразование координат, приводящее это
уравнение к каноническому виду и сам этот вид. Однако запоминать эти формулы сложно да и не нужно: все преобразования исключительно просты.
Также существуют и другие характерные числа, роль которых подобна роли малого дискриминанта (большой дискриминант, полуинварианты) -
они позволяют, не проводя преобразований, указать не только тип кривой, но и отделить вырожденные случаи. Кроме того, через них выражаются
коэффициенты уравнения кривой в канонической форме. Эти формулы здесь также не обсуждаются.

Рассмотрим несколько примеров. Задание - привести уравнение к каноническому виду.

Примеры.

Пример 1. Случай центральной кривой.


Здесь , т.е. уравнение описывает кривую гиперболического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельного
переноса системы координат. Применяя замену (2), получаем

.
Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:

Уравнение принимает вид
.
Теперь выполняем поворот (3):
.
Требуем обращения в нуль коэффициента при слагаемом, пропорциональном :
.
Мы выбрали один угол поворота, хотя их существует целое семейство. Уравнение принимает вид

или
.
Уже понятно, что это уравнение гиперболы, но в каноническом виде справа должна быть, строго говоря, единица. Поэтому нужно повернуть
систему координат ещё на угол - переменные поменяются местами и уравнение примет канонический вид.
На рис. 2 изображена гипербола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение гиперболы имеет
канонический вид.


Пример 2. Случай нецентральной кривой: случай преобразования сводящегося к повороту.


Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота
системы координат. Применяя замену (3), получаем


.
Требуем обращения в нуль коэффициента при :
.
Опять-таки выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению
.
И снова понятно, что получилось уравнение параболы, но оно не каноническое. Для приведения к каноническому виду нужно выполнить ещё один
поворот на угол .
На рис. 3 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.


Пример 3. Случай нецентральной кривой.


Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота
системы координат. Применяя замену (3), получаем

.
Требуем обращения в нуль коэффициента при :
.
И снова выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению
.
Теперь нужно выполнить параллельный перенос системы координат, чтобы совместить вершину параболы с началом координат.
Применять формальную процедуру замены координат нет необходимости (хотя можно сделать и так) - вместо этого перепишем уравнение тождественно
.
Фактически был выделен полный квадрат. Таким образом, второе преобразование очевидно:
.
Приходим к каноническому уравнению параболы:
.
На рис. 4 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.
Также изображена система координат, получающаяся после первого преобразования - поворота.


Пример 4. Отсутствие геометрического образа.


Здесь , т.е. уравнение описывает кривую эллиптического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельного
переноса системы координат. Применяя замену (2), получаем

.
Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:
.
Уравнение принимает вид
.
Теперь выполняем поворот (3):
.
Чтобы пропорциональное слагаемое обратилось в нуль, выберем, например, .
Уравнение преобразуется к виду
.
Такое уравнение не задаёт кривой на плоскости (т.н. мнимый эллипс).