1. Уважаемые друзья!

    С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
    Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

    Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

    Всегда ваша,
    Администрация Корума

УМФ. Решение уравнения методом Фурье.

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем rmm, 26 ноя 2016.

Модераторы: onyx
  1. rmm

    rmm Новичок

    Добрый день! Разбирал метод Фурье для решения уравнений в ЧП и наткнулся на эту тему на сайте: http://corum.mephist.ru/threads/УМФ-Метод-Фурье-стоячих-волн.37173/

    В разобранных в этой теме задачах, как и в задачах, которые я решал самостоятельно, ответ удовлетворяет краевым условиям, но не удовлетворяет начальным условиям. Кто может объяснить, почему так получается?
  2. login

    login Педант Модератор Энциклопедии МИФИ VIP

    А можно конкретный пример?
  3. rmm

    rmm Новичок

    Да, например в теме, которую я указал в первом посте, можно рассмотреть пример 4. Начальное условие там: u(x,0)=0. Однако при подстановке этого начального условия в ответ 8989.jpg , получится не 0, а 1-x-2*сумма(sin(pi*n*x)/(pi*n))
  4. login

    login Педант Модератор Энциклопедии МИФИ VIP

    rmm, это известное явление, которое можно объяснить тем, что ряд Фурье кусочно-непрерывной функции (а здесь мы имеем дело с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\sin\pi n x\), который надо рассматривать как ряд функции \(f(x)=1-x\), изначально определенной на интервале \((0,2\pi)\) и продолженной \(2\pi\)-периодически) сходится к исходной функции, вообще говоря, только в точках ее непрерывности. См. сходимость рядов Фурье. Так что ответ в виде ряда Фурье, вообще говоря, удовлетворяет начальным условиям не везде, а почти везде.

    Стоит отметить, что в исходной задаче начальное условие \(u(x,0)=0\) противоречит граничному условию \(u(0,t)=1\). Поскольку мы решаем в итоге краевую задачу с однородными граничными условиями и раскладываем в ряд по ее решениям, каждое из которых удовлетворяет граничным условиям, конечный ответ тоже удовлетворяет граничным условиям, но не удовлетворяет начальным условиям, которые оказываются слабее. Если говорить о физике, то, например, если у нас есть струна с закрепленными концами, то эти концы никогда не могут отклоняться от своего закрепленного положения, то есть, в разумной постановке физической задачи начальное условие тоже должно удовлетворять граничным условиям. На это соображение, впрочем, можно закрыть глаза, подразумевая, что если начальное условие не удовлетворяет граничным условиям, то получившееся решение будет не очень хорошо себя вести вблизи какой-то из граничных точек, но эта особенность будет проявляться в узкой окрестности этих точек и поэтому ей можно пренебречь.
    Последнее редактирование: 28 ноя 2016
    rmm и Evg нравится это.
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей