Теоретический минимум

Криволинейные и поверхностные интегралы часто встречаются в физике. Они бывают двух видов, первый из которых рассматривается здесь. Этот
тип интегралов строится согласно общей схеме, по которой вводятся определённые, двойные и тройные интегралы. Коротко напомним эту схему.
Имеется некоторый объект, по которому проводится интегрирование (одномерный, двумерный или трёхмерный). Этот объект разбивается на малые части,
в каждой из частей выбирается точка. В каждой из этих точек вычисляется значение подынтегральной функции и умножается на меру той части, которой
принадлежит данная точка (длину отрезка, площадь или объём частичной области). Затем все такие произведения суммируются, и выполняется предельный
переход к разбиению объекта на бесконечно малые части. Получающийся предел и называется интегралом.

1. Определение криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим функцию , определённую на кривой . Кривая предполагается спрямляемой. Напомним, что это означает, грубо говоря,
что в кривую можно вписать ломаную со сколь угодно малыми звеньями, причём в пределе бесконечно большого числа звеньев длина ломаной должна оставаться
конечной. Кривая разбивается на частичные дуги длиной и на каждой из дуг выбирается точка . Составляется произведение ,
проводится суммирование по всем частичным дугам . Затем осуществляется предельный переход с устремлением длины наибольшей
из частичных дуг к нулю. Предел является криволинейным интегралом первого рода
.
Важной особенностью этого интеграла, прямо следующей из его определения, является независимость от направления интегрирования, т.е.
.

2. Определение поверхностного интеграла первого рода

Рассмотрим функцию , определённую на гладкой или кусочно-гладкой поверхности . Поверхность разбивается на частичные области
с площадями , в каждой такой области выбирается точка . Составляется произведение , проводится суммирование
по всем частичным областям . Затем осуществляется предельный переход с устремлением диаметра наибольшей из всех частичных
областей к нулю. Предел является поверхностным интегралом первого рода
.

3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Методика вычисления криволинейного интеграла первого рода просматривается уже из формальной его записи, а фактически следует непосредственно из
определения. Интеграл сводится к определённому, только нужно записать дифференциал дуги кривой, вдоль которой проводится интегрирование.
Начнём с простого случая интегрирования вдоль плоской кривой, заданной явным уравнением . В этом случае дифференциал дуги
.
Затем в подынтегральной функции выполняется замена переменной , и интеграл принимает вид
,
где отрезок отвечает изменению переменной вдоль той части кривой, по которой проводится интегрирование.

Очень часто кривая задаётся параметрически, т.е. уравнениями вида . Тогда дифференциал дуги
.
Формула эта очень просто обосновывается. По сути, это теорема Пифагора. Дифференциал дуги - фактически длина бесконечно малой части кривой.
Если кривая гладкая, то её бесконечно малую часть можно считать прямолинейной. Для прямой имеет место соотношение
.
Чтобы оно выполнялось для малой дуги кривой, следует от конечных приращений перейти к дифференциалам:
.
Если кривая задана параметрически, то дифференциалы просто вычисляются:
и т.д.
Соответственно, после замены переменных в подынтегральной функции криволинейный интеграл вычисляется следующим образом:
,
где части кривой, по которой проводится интегрирование соответствует отрезок изменения параметра .

Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда кривая задаётся в криволинейных координатах. Этот вопрос обычно обсуждается в рамках дифференциальной
геометрии. Приведём формулу для вычисления интеграла вдоль кривой, заданной в полярных координатах уравнением :
.
Приведём обоснование и для дифференциала дуги в полярных координатах. Подробное обсуждение построения координатной сетки полярной системы координат
см. здесь. Выделим малую дугу кривой, расположенную по отношению к координатным линиям так, как показано на рис. 1. В силу малости всех фигурирующих
дуг снова можно применить теорему Пифагора и записать:
.
Отсюда и следует искомое выражение для дифференциала дуги.


С чисто теоретической точки зрения достаточно просто понять, что криволинейный интеграл первого рода должен сводиться к своему частному случаю -
определённому интегралу. Действительно, выполняя замену, которая диктуется параметризацией кривой, вдоль которой вычисляется интеграл, мы устанавливаем
взаимно-однозначное отображение между частью данной кривой и отрезком изменения параметра . А это и есть сведение к интегралу
вдоль прямой, совпадающей с координатной осью - определённому интегралу.

4. Вычисление поверхностного интеграла первого рода

После предыдущего пункта должно быть ясно, что одна из основных частей вычисления поверхностного интеграла первого рода - запись элемента поверхности ,
по которой выполняется интегрирование. Опять-таки начнём с простого случая поверхности, заданной явным уравнением . Тогда
.
Выполняется замена в подынтегральной функции, и поверхностный интеграл сводится к двойному:
,
где - область плоскости , в которую проектируется часть поверхности, по которой проводится интегрирование.

Однако часто задать поверхность явным уравнением невозможно, и тогда она задаётся параметрически, т.е. уравнениями вида
.
Элемент поверхности в этом случае записывается уже сложнее:
.
Соответствующим образом записывается и поверхностный интеграл:
,
где - область изменения параметров, соответствующая части поверхности , по которой проводится интегрирование.

5. Физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов первого рода

Обсуждаемые интегралы обладают очень простым и наглядным физическим смыслом. Пусть имеется некоторая кривая, линейная плотность которой не является
константой, а представляет собой функцию точки . Найдём массу этой кривой. Разобьём кривую на множество малых элементов,
в пределах которых её плотность можно приближённо считать константой. Если длина маленького кусочка кривой равна , то его масса
, где - любая точка выбранного кусочка кривой (любая, так как плотность в пределах
этого кусочка приближённо предполагается постоянной). Соответственно, масса всей кривой получится суммированием масс отдельных её частей:
.
Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения кривой на бесконечно малые части, но это и есть криволинейный интеграл первого рода.

Аналогично разрешается вопрос о полном заряде кривой, если известна линейная плотность заряда .

Эти рассуждения легко переносятся на случай неравномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда . Тогда
заряд поверхности есть поверхностный интеграл первого рода
.

Замечание. Громоздкая формула для элемента поверхности, заданной параметрически, неудобна для запоминания. Другое выражение получается в дифференциальной геометрии,
оно использует т.н. первую квадратичную форму поверхности.

Примеры вычисления криволинейных интегралов первого рода

Пример 1. Интеграл вдоль прямой.
Вычислить интеграл

вдоль отрезка прямой, проходящей через точки и .

Сначала запишем уравнение прямой, вдоль которой проводится интегрирование: . Найдём выражение для :
.
Вычисляем интеграл:


Пример 2. Интеграл вдоль кривой на плоскости.
Вычислить интеграл

по дуге параболы от точки до точки .

Заданные точки и позволяют выразить переменную из уравнения параболы: .

Вычисляем интеграл:
.

Однако можно было проводить вычисления и иначе, пользуясь тем, что кривая задана уравнением, разрешённым относительно переменной .
Если принять переменную за параметр, то это приведёт к небольшому изменению выражения для дифференциала дуги:
.
Соответственно, интеграл несколько изменится:
.
Этот интеграл легко вычисляется подведением переменной под дифференциал. Получится такой же интеграл, как и в первом способе вычисления.

Пример 3. Интеграл вдоль кривой на плоскости (использование параметризации).
Вычислить интеграл

вдоль верхней половины окружности .

Можно, конечно, выразить из уравнения окружности одну из переменных, а затем провести остальные вычисления стандартно. Но можно использовать и
параметрическое задание кривой. Как известно, окружность можно задать уравнениями . Верхней полуокружности
отвечает изменение параметра в пределах . Вычислим дифференциал дуги:
.
Таким образом,


Пример 4. Интеграл вдоль кривой на плоскости, заданной в полярных координатах.
Вычислить интеграл

вдоль правого лепестка лемнискаты .


На чертеже выше изображена лемниската. Вдоль её правого лепестка нужно проводить интегрирование. Найдём дифференциал дуги для кривой :
.
Следующий шаг - определение пределов интегрирования по полярному углу. Ясно, что должно выполняться неравенство , а потому
.
Вычисляем интеграл:


Пример 5. Интеграл вдоль кривой в пространстве.
Вычислить интеграл

вдоль витка винтовой линии , соответствующего пределам изменения параметра .

Вычисляем дифференциал дуги:
.
Подставляем в интеграл:
.

Примеры вычисления поверхностных интегралов первого рода

Пример 6. Интеграл по поверхности, заданной явно.
Вычислить интеграл

по поверхности тела .

Поверхность интегрирования состоит из двух частей: части плоскости , которую обозначим и поверхности , заданной
уравнением . Эта поверхность представляет собой верхнюю половину конуса второго порядка. Проекция той её части,
по которой проводится интегрирование, на плоскость представляет собой круг, ограниченный окружностью .
Запишем элемент поверхности:
.
Таким образом, поверхностный интеграл сводится к следующему двойному:

где - круг . Такой интеграл проще всего вычислять в полярных координатах:
.

Теперь интегрируем по плоскости . Это совсем простое интегрирование, так как поверхностный интеграл сразу превращается
в двойной без каких-либо дополнительных вычислений. Он будет отличаться только множителем от только что вычисленного.

Окончательный ответ получается суммированием двух вычисленных интегралов:
.

Пример 7. Интеграл по сфере.
Вычислить интеграл

по верхней полусфере .

Можно выразить явно, например, аппликату из уравнения сферы и проводить вычисления дальше, но при интегрировании по сфере удобно использовать
сферические координаты. Тем более элемент поверхности сферы в этом случае хорошо известен:
.
Осталось только выполнить замену в подынтегральной функции:
.

Пример 7. Интеграл по параметрически заданной поверхности.
Вычислить интеграл

по части поверхности геликоида , отвечающей границам изменения параметров .

Поверхность интегрирования задана параметрически, поэтому для написания элемента поверхности нужно предварительно вычислить три якобиана:

.
Таким образом, элемент поверхности
.
Следовательно, поверхностный интеграл сводится к следующему двойному:
.
Детали вычисления определённого интеграла здесь опущены: они не имеют отношения к теме. Тем более, сам интеграл достаточно простой.