Теоретический минимум

Рассмотрим уравнение Лапласа в трёхмерной области со сферической симметрией - это может быть внутренность
или внешность сферы, либо сферический слой. Обсуждать будем два вида краевых задач: Дирихле (заданы значения функции на
границе области) и Неймана (на границе области заданы значения производной функции по нормали к этой границе).
Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней) и внешней задачи Неймана единственно (в случае задачи Неймана - условие существования
решения сильнее, чем в случае задачи Дирихле; строго говоря, следует проверять его выполнение, но мы в примерах ниже на этом не
останавливаемся, предполагая, что проверка выполнена). Решение внутренней задачи Неймана единственное с точностью до константы.

Общее решение в рамках метода Фурье ищется в виде

где ,
, .
Вид функции диктуется требованием ограниченности решения уравнения и областью, в которой решается
уравнение. Если решается внутренняя задача, то , так как функции не являются ограниченными
при . Если решается внешняя задача, то , так как функции не являются ограниченными при .
Вид функции не определяется условием ограниченности решения уравнения, если задача решается в сферическом слое.

Обратимся к угловой части решения. Она представляет собой т.н. сферические функции. Их вид может показаться довольно-таки громоздким,
однако функции, соответствующие небольшим значениям индексов, выглядят совсем просто. Для удобства решения задач приведём
несколько примеров





Напомним, что в сферических координатах лапласиан можно записать следующим образом:
,
где . Вид угловой части лапласиана нам не потребуется, но важно знать, что
.

Поиск коэффициентов основан на свойстве ортогональности сферических функций на сфере:
.
Мы не приводим здесь нормировочный коэффициент , так как он нам не потребуется. Важно то, что любые две сферические
функции с различными индексами ортогональны на сфере.

Используется краевое условие. Пусть, например, заданы значения функции на границе области, например, при . Тогда подставим
в общий вид решения и приравняем полученный ряд функции из краевого условия. Затем эта функция раскладывается по
сферическим функциям. Остаётся приравнять коэффициенты при одинаковых сферических функциях слева и справа.

Примеры

Пример 1. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа.


Так как решается внутренняя задача, то общее решение ищем в виде
. (1)
Множитель введён исключительно для удобства записи краевого условия.
Учтём краевое условие:
. (2)
Дальше следует раскладывать правую часть по сферических функциям. Однако сразу понятно, что индекс может принимать
только нулевое значение: в противном случае в правой части (2) присутствовали бы функции азимутального угла
(это следует из определения сферических функций). Поэтому задача несколько упрощается:
.
Далее, представим правую часть в виде . Сравнивая это выражение с приведёнными в теоретическом
минимуме сферическими функциями, заключаем, что слева могут быть только функции и , т.е. из всего
ряда остаются только два слагаемых: с и .


Возвращаемся к виду решения (1), в котором полагаем и оставляем слагаемые с и :
.

Пример 2. Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа.


Так как решается внешняя задача, то решение ищем в виде
.
Вычислим производную этой функции, чтобы учесть краевое условие:
.
. (3)
Разложим правую часть по сферическим функциями:

Видно, что в сумме в левой части (3) останутся только слагаемые, соответствующие значению индекса :
,
.
Возвращаемся к общему вид решения. Полагаем и находим:

.

Пример 3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в сферическом слое.


Так как задача рассматривается в шаровом слое, то решение ищем в виде

Учтём краевые условия:


Правые части здесь с точностью до коэффициента представляют собой сферические функции:
.
Следовательно, в общем решении следует оставить только слагаемые, отвечающие значениям индексов и :


;
;
Можно выписать окончательный ответ:




Пример 4. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Пуассона. Случай однородного краевого условия.


Задачу упрощает то, что краевое условие однородное. В данном случае общий подход сохраняется, т.е. решение ищем в виде
,
но вид функций заранее неизвестен.
Подставим такой вид решения в уравнение. При этом лапласиан запишем, выделяя угловую часть:
.
Учтём, что .
Кроме того, заметим, что неоднородность уравнения можно записать как . Следовательно, из всей суммы при поиске
решения можно оставить только слагаемые, отвечающие значению индексов , .
Тогда получим
.
(4)
Это неоднородное уравнение. Ищем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения в виде .
При подстановке такой функции в уравнение получим , т.е. общее решение однородного уравнения

Вид неоднородности уравнения (4) подсказывает, что его частное решение следует искать в виде . Подстановка этой функции
в уравнение (4) приводит к значению . Итак, общее решение уравнения (4)
.
Определяем неизвестные константы. Во-первых, ищем решение, ограниченное внутри шара, поэтому . Во-вторых.
есть краевое условие:
,
откуда следует в силу произвольности углов и, принимая во внимание, что от ряда осталось лишь одно слагаемое, условие .
Это условие позволяет найти . Итак, окончательный ответ
.

Пример 5. Внешняя задача Дирихле для уравнения Пуассона. Случай неоднородного краевого условия.


Как обычно бывает при применении метода Фурье к неоднородным уравнениям с неоднородными дополнительными условиями, используется
метод редукции. Решение представляется в виде суммы двух функций, одна из которых "принимает на себя" неоднородность в дополнительном
условии, в другая - неоднородность уравнения. Так поступим и здесь. Рассмотрим две задачи:
и .
Тогда решение исходной задачи . Задачи, из которых находятся функции и , уже обсуждались выше
(примеры 1 и 4).
1. Поиск функции .
Решение ищем в виде
.
Подставим этот вид решения в уравнение.
.
Учитываем, что .
Неоднородность уравнения записываем через сферическую функцию: . Следовательно, из всей суммы при поиске
решения можно оставить только слагаемые, отвечающие значению индексов , .
Тогда получаем
.

Опуская детали решения этого обыкновенного дифференциального уравнения (оно полностью аналогично разобранному в примере 4),
приводим общее решение
.
Определяем неизвестные константы. Снова используем условие ограниченности решения вне шара, поэтому . Используем
краевое условие:
. Таким образом,
.

2. Поиск функции .
Решение ищем в виде
.
Здесь учтено, что решается внешняя задача. Используем краевое условие:
Учтём краевое условие:
.
Раскладываем правую часть по сферических функциям: . Таким образом, из ряда, определяющего
решение задачи, остаются только два слагаемых: с и .
.
Возвращаемся к общему виду решения, в котором полагаем и оставляем слагаемые с и :
.
Фактически, тем самым исходная задача решена.

Замечание. В рассмотренных примерах удавалось достаточно легко проводить разложения функций по сферическим функциям. В общем случае
разложение проводится стандартным способом. А именно раскладываемую функцию представляем в виде ряда по сферическим функциям, умножаем её на
произвольную сферическую функцию и интегрируем по сфере, применяя приведённое в теоретическом минимуме соотношение ортогональности. В результате
решение задачи будет представлять собой ряд, который иногда удаётся суммировать.

Добрый день! Очень рад, что нашел Ваш форум.
Прошу прощения за чайниковский вопрос.
А как быть с уравнением Пуассона в полусферическом слое с осевой симметрий?
Т.е. \(\theta\in[0;\pi/2], r\in[r_1;r_2]\), на границе u=0
Правая часть в общем виде, т.е. \(\Delta u(r,\theta)=f(r,\theta)\).
Возможен также вариант векторного лапласиана - тогда:
к лапласиану добавится член \(\frac{u}{r^2\sin^2\theta}\)
Я хочу попробовать использовать аналитическое решения как часть численного - поэтому в правой части может быть что угодно.
С уважением, Гарри