1. Уважаемые друзья!

    С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
    Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

    Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

    Всегда ваша,
    Администрация Корума

Как считать погрешности "FAQ по погрешностям"

Тема в разделе "Лабы по физике", создана пользователем lamen, 5 окт 2010.

Модераторы: onyx
  1. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    В этой теме буду писать что-то вроде краткой шпаргалки по погрешностям. Опять же, данный текст ни в коей мере не официальный и ссылаться на него недопустимо. Буду признателен за исправление любых ошибок и неточностей, которые могут быть в этом тексте.


    Что такое погрешность?

    Запись результата эксперимента вида [​IMG] ([​IMG]) означает, что если мы проведем очень много идентичных экспериментов, то в 70% полученные результаты будут лежать в интервале [​IMG], а в 30% - не будут.

    Или, что тоже самое, если мы повторим эксперимент, то новый результат ляжет в доверительный интервал [​IMG] с вероятностью, равной доверительной вероятности [​IMG].



    Как округлять погрешность и результат?

    Погрешность округляется до первой значащей цифры, если она не единица. Если единица - то до двух. При этом значащей цифрой называется любая цифра результата кроме нулей впереди.

    Пример:

    [​IMG] округляем до [​IMG] или [​IMG] или [​IMG] но ни в коем случае не [​IMG] или [​IMG], поскольку тут 2 значащие цифры - 2 и 0 после двойки.

    [​IMG] округляем до [​IMG] или [​IMG]

    [​IMG] округляем до [​IMG] или [​IMG] или [​IMG]

    Результат округляем таким образом, чтобы последняя значащая цифра результата соответствовала последней значащей цифре погрешности.

    Примеры правильной записи:

    [​IMG] мм

    [​IMG] мм Держим тут в погрешности 2 значащие цифры потому что первая значащая цифра в погрешности - единица.

    [​IMG] мм

    Примеры неправильной записи:

    [​IMG] мм. Здесь лишний знак в результате. Правильно будет [​IMG] мм.

    [​IMG] мм. Здесь лишний знак и в погрешности, и в результате. Правильно будет [​IMG] мм.


    В работе использую значение, данное мне просто в виде цифры. Например, масса грузиков. Какая у нее погрешность?


    Если погрешность явно не указана, можно взять единицу в последнем разряде. То есть если написано m=1.35 г, то в качестве погрешность нужно взять 0.01 г.




    Как считать погрешность сложной функции?

    Есть функция от нескольких величин [​IMG] У каждой из этих величин есть своя погрешность. Чтобы найти погрешность функции надо сделать следующее:
    [​IMG]

    символ [​IMG] означает частную производную f по x. Подробнее про частные производные здесь.



    Как вообще правильно посчитать погрешность?

    Положим, вы меряли одну и ту же величину x несколько (n) раз. Получили набор значений.[​IMG]. Вам необходимо посчитать погрешность разброса, посчитать приборную погрешность и сложить их вместе.

    По пунктам.

    1. Считаем погрешность разброса

    Если все значения совпали - никакого разброса у вас нет. Иначе - есть погрешность разброса [​IMG], которую надо вычислить. Для начала вычисляется среднеквадратичная погрешность среднего:

    [​IMG]

    здесь [​IMG] означает среднее по всем [​IMG].
    Погрешность разброса [​IMG] получается умножением среднеквадратичной погрешности среднего на коэффициент Стьюдента [​IMG], который зависит от выбранной вами доверительной вероятности [​IMG] и числа измерений n:

    [​IMG] .

    Коэффициенты Стьюдента [​IMG] берем из нижеприведенной таблицы. Доверительная вероятность [​IMG] выбитается произвольно, число измерений n мы также знаем.




    2. Считаем приборную погрешность среднего

    Если погрешности разных точек разные, то по формуле

    [​IMG]

    При этом естественно, у всех [​IMG] доверительная вероятность должна быть одинаковой.


    3. Складываем среднее с разбросом

    Погрешности всегда складываются как корень из квадратов:

    [​IMG]

    При этом нужно убедиться, что доверительные вероятности с которыми были вычислены [​IMG] и [​IMG] совпадают.


    Как по графику определить приборную погрешность среднего? Ну т.е., используя метод парных точек или метод наименьших квадратов, мы найдем погрешность разброса среднего сопротивления. Как найти приборную погрешность среднего сопротивления?


    И в МНК и в методе парных точек можно дать строгий ответ на этот вопрос. Для МНК форума в Светозарове есть ("Основы...", раздел про метод наименьших квадратов), а для парных точек первое, что приходит в голову (в лоб, что называется) это посчитать приборную погрешность каждого углового коэффициента. Ну и далее по всем пунктам... :crazy:

    Если же не хочешь мучиться, то в лабниках дан простой способ для оценки приборной погрешности углового коэффициента, именно из МНК следующий (например перед работой 1 в лабнике "Электроизмерительные приборы. ..." последняя страница Метод.рекомендаций).

    [​IMG], где [​IMG] - величина максимального отклонения по оси Y точки с погрешностью от проведенной прямой, а в знаменателе стоит ширина области нашего графика по оси Y. Аналогично по оси X.


    На магазине сопротивлений написан класс точности: 0,05/4*10^-6? Как из этого найти погрешность прибора?


    Это означает, что предельная относительная погрешность прибора (в процентах) имеет вид:
    [​IMG], где
    [​IMG] - наибольшее значение сопротивления магазина, а [​IMG] - номинальное значение включённого сопротивления.
    Легко видеть, что второе слагаемое важно тогда, когда мы работаем на очень малых сопротивлениях.

    Подробнее всегда можно посмотреть в паспорте прибора. Паспорт можно найти в интернете, забив марку прибора в гугл.

    Литература про погрешности

    Рецептурная информация про то как считать погрешности дана во введениях к практикумам, в частности, во вводной части к практикуму "Измерительные приборы".

    Гораздо больше информации по этому поводу можно найти в рекомендованной для первокурсников книге:
    В.В. Светозаров "Элементарная обработка результатов измерений"

    В качестве дополнительной (для первокурсников дополнительной) литературы можно порекомендовать:
    В.В.Светозаров "Основы статистической обработки результатов измерений"

    И уж тем кто хочет окончательно во всем разобраться непременно стоит заглянуть сюда:
    Дж. Тейлор. "Введение в теорию ошибок"

    Спасибо Lexxus'у за нахождение и размещение у себя на сайте этих замечательных книжек.
  2. Lexxus

    Lexxus Немного великий Администратор VIP

    А разве не
    [​IMG]
    ?
  3. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    Неа. Последняя значащая цифра результата должна отвечать последней значащей цифре погрешности.
    Если мы держим миллиметры в погрешности, то почему их надо убирать в результате?
  4. Silver MC's

    Silver MC's ┬┴┬┴┤(・_├┬┴┬┴

    0,98 можно округлить так:[​IMG] ?
  5. Lexxus

    Lexxus Немного великий Администратор VIP

    [quote name='Silver MC's' post='379424' date='Oct 5 2010, 16:00']
    0,98 можно округлить так:[​IMG] ?
    [/quote]
    0.98 можно округлять до 1.0, если погрешность получилась 0.195 и более.
    В противном случае, округлять до 1.0 нельзя.
  6. Lexxus

    Lexxus Немного великий Администратор VIP

    lamen, а вот кстати. Если результат измерения получился, скажем, 4, а погрешность - скажем, 20 (ну, мало ли).
    В точности следуя описанной выше логике, я должен округлить результат до порядка первой значащей цифры погрешности (в нашем случае - до десятков), т.е. записать [​IMG] ?
  7. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    [quote name='Silver MC's' post='379424' date='Oct 5 2010, 16:00']
    0,98 можно округлить так:[​IMG] ?
    [/quote]

    0,98 это результат или погрешность? :)

    [quote name='Lexxus' post='379428' date='Oct 5 2010, 16:53']
    lamen, а вот кстати. Если результат измерения получился, скажем, 4, а погрешность - скажем, 20 (ну, мало ли).
    В точности следуя описанной выше логике, я должен округлить результат до порядка первой значащей цифры погрешности (в нашем случае - до десятков), т.е. записать [​IMG] ?
    [/quote]
    Да, именно так, если я правильно понимаю. Связано, как я понимаю, с тем, что погрешность округления самой погрешности в этом случае превысит результат :eek: .

    То есть я понимаю, что четверка несет в себе некую информацию, которая убивается округлением. Но по сравнению с самой погрешностью, и с ее ошибкой округления, это уже все мало.
  8. Chameleon

    Chameleon Administrator Администратор VIP

    А в чем разница 2х примеров? Во втором случае оба числа просто на порядок меньше. Нельзя их записать как-то типа [​IMG]. Это, разве, не полностью аналогичный случай к правильному варианту записи?
  9. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    В первом случае первая цифра в погрешности - единица. Из-за этого мы держим в погрешности 2 знака, чтобы минимизировать ошибку округления погрешности. Во втором - четверка. И мы оставляем только один знак.
  10. Chameleon

    Chameleon Administrator Администратор VIP

    Т.е. [​IMG] - правильно?

    Думаю, тогда стоит в инструкции более ясно написать, почему предыдущее не правильно.
  11. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    Да. А +- 4.2 - неправильно.

    Предлагай. У меня-то глаз замылен, мне все кажется понятным :) .
  12. Silver MC's

    Silver MC's ┬┴┬┴┤(・_├┬┴┬┴

    результат :eek:
  13. Chameleon

    Chameleon Administrator Администратор VIP

    как так "завернуто"
  14. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    [quote name='Silver MC's' post='379443' date='Oct 5 2010, 17:41']
    результат :)
    [/quote]
    Тогда тебе Lexxus ответил.

    [quote name='Chameleon' post='379445' date='Oct 5 2010, 17:42']
    как так "завернуто"
    [/quote]

    Слишком сложно для восприятия, имхо. Смешано в кучу правильное и неправильное. Я чуть выше, в примерах правильной записи, добавил строчку, поясняющую различие. И, кстати, про единицу сказано выше.
  15. Silver MC's

    Silver MC's ┬┴┬┴┤(・_├┬┴┬┴

    т.е.если погрешность 0.1 при при результате 0.98 то при округлении я получу 0.9 :)
  16. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    [quote name='Silver MC's' post='379453' date='Oct 5 2010, 18:19']
    т.е.если погрешность 0.1 при при результате 0.98 то при округлении я получу 0.9 :)
    [/quote]
    Вообще-то нет. Вообще-то погрешности вида 0.1 быть не должно - там должна быть еще одна цифра, после единицы. И тогда округлять уже нельзя. Например, если погрешность 0.10, то получается [​IMG].
  17. M@ks

    M@ks Корумчанин

    [quote name='Silver MC's' date='Oct 5 2010, 18:19']
    [snapback]379453[/snapback]​
    т.е.если погрешность 0.1 при при результате 0.98 то при округлении я получу 0.9[/quote]
    Нет. Если погрешность 0,1, то дадо писать так: $0.98\pm0.10
    Если в погрешности 1я значащая цифра 1, то второй знак обязателен.
    PS Если преподаватели немного посвирепствуют, то никакие мануалы и не нужны. Кстати в Светозарове то же самое написано, что и тут.
  18. Nick_

    Nick_ ¡No pasarán! VIP

    Мне кажется, стоит еще написать:

    1. как округлять пятерку в последнем разряде (у преподавателей разных кафедр похоже требования разные)

    1.56
    1.54
    1.55
    1.5

    2. на пальцах объяснить что значит частная производная с простеньким примерчиком

    Если надо - текст попозже напишу
  19. lamen

    lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

    Nick_, а надо ли тут так вдаваться в математику? тем более в элементарную, вроде правил округления?
  20. Lexxus

    Lexxus Немного великий Администратор VIP

    Проблема в том, что функции многих переменных и частные производные в курсе матанализа, кажется, где-то ближе к концу первого семестра.
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей