1. Уважаемые друзья!

    С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
    Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

    Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

    Всегда ваша,
    Администрация Корума

ЛА. Определитель матрицы. Вычисление определителей

Тема в разделе "Вопросы высшей математики", создана пользователем Schufter, 26 июл 2013.

Модераторы: onyx
  1. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Теоретический минимум

    Определитель (детерминант) возникает во многих разделах математики естественным образом. Вводится он обычно в рамках алгебры.
    Например, можно начинать с систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для простоты ограничимся случаем двух уравнений с
    двумя переменными:
    [​IMG].
    Решить эту систему легко, например, выражая одну из переменных через другую и выполняя подстановку во второе уравнение.
    [​IMG]
    Решение удобно представить в другом виде, для чего вводится следующее обозначение:
    [​IMG].
    Так вводится определитель второго порядка. В таких обозначениях получим из (1)
    [​IMG].
    Это частный случай формул Крамера, предназначенных для решения СЛАУ, число уравнений в которых совпадает с числом переменных.
    Мы не останавливаемся здесь подробно на вопросе решения СЛАУ. Заметим только, что понятие определителя обобщается для большего
    количества элементов.

    Обобщение такое может быть сделано не одним способом. Возможен индуктивный метод, когда определитель третьего порядка
    вводится через определитель второго порядка, определитель четвёртого порядка - через определитель третьего порядка и т.д.
    Например, для определителя третьего порядка вводится следующее правило:
    [​IMG].
    Сформулировать правило можно следующим образом. Берётся первый элемент первой строки, вычёркивается строка и столбец, которым
    этот элемент принадлежит - остаётся определитель второго порядка. Следующий элемент первой строки берётся со знаком минус, снова
    вычёркивается строка и столбец, которым принадлежит элемент, остаётся определитель. Наконец, третий элемент первой строки берётся со
    знаком плюс, опять вычёркиваются содержащие его строка и столбец. Соответственно, правило легко обобщить на определитель любого порядка.
    Последовательно берутся элементы первой строки, причём знаки, с которыми они входят в определитель, должны чередоваться. Затем
    вычёркивается строка и столбец, в которые входит выбранный элемент, остаётся определитель на единицу меньшего порядка.

    С точки зрения вычислений этот метод введения определителя не так плох, но для доказательств свойств детерминанта это определение
    неудобно, поэтому используется другое определение. Чтобы прийти к нему, выпишем явно определитель третьего порядка.
    [​IMG]
    [​IMG]
    Обратите внимание: все слагаемые можно записать в общем виде [​IMG]. Индексы [​IMG] могут принимать
    значения 1, 2 или 3. Фактически мы перебираем все возможных варианты расстановки трёх чисел. Таких вариантов шесть: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
    Слагаемых в определителе тоже шесть. Как определить знак, с которым войдёт в определитель слагаемое при данной расстановке индексов?
    Возьмём за отправную точку слагаемое, в котором вторые индексы образуют последовательность 123 (элемент [​IMG]).
    Этот элемент входит со знаком плюс. Поменяем местами два вторых индекса, чтобы они образовали последовательность 213. Соответствующее
    слагаемое [​IMG] входит в определитель со знаком минус. Если же мы в последовательности 123 дважды поменяем
    местами индексы: [​IMG], то получим слагаемое [​IMG], входящее в определитель со знаком
    плюс. Отсюда можно прийти к идее составления определителя на основе произведений его элементов, которые входят со знаком, определяемым
    расстановкой индексов элементов в данном слагаемом. Сформулируем эту идею в общем виде для определителя порядка [​IMG]. Он будет состоять
    из слагаемых вида [​IMG], где индексы [​IMG] принимают значения от 1 до [​IMG].
    Вводится понятие перестановки индексов. Так называют упорядоченный набор чисел из [​IMG] чисел от 1 до [​IMG] без пропусков и повторений.
    Два элемента [​IMG] перестановки образуют порядок, если [​IMG] при [​IMG]. В противном случае эти два элемента образуют инверсию.
    Если в перестановке имеется чётное число инверсий, то она называется чётной, в противном случае - нечётной. Если мы меняем местами любые
    два элемента перестановки, то это называется транспозицией. При транспозиции перестановка меняет свою чётность.

    Теперь мы можем дать общее определение детерминанта. Введём в рассмотрение таблицу чисел (матрицу)
    [​IMG].
    По определению её детерминантом называется число
    [​IMG],
    где суммирование ведётся по всевозможным перестановкам [​IMG], а [​IMG] - это число инверсий в перестановке [​IMG].

    Пример.
    Определим, с каким знаком войдёт в определитель пятого порядка слагаемое [​IMG].
    Согласно общему определению нужно найти число инверсий в перестановке 34152. Удобнее всего делать это приведением перестановки к виду 12345,
    считая при этом число транспозиций:
    [​IMG] - 2 транспозиции
    [​IMG] - 3 транспозиции
    Итого 5 транспозиций, следовательно, перестановка была нечётная, и рассматриваемое слагаемое должно войти в определитель с минусом.

    Переходим к свойствам определителя. Отметим, что здесь мы не останавливаемся на свойствах определителя, связанных с операциями над матрицами:
    эти свойства обсудим позже.
    1. При перестановке двух строк или столбцов определителя он меняет знак.
    2. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
    3. Если к строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец) определителя, умноженную на отличное от нуля число,
    то определитель не изменится.
    4. Из строки (столбца) определителя можно выносить множитель за знак определителя.

    Следующие свойства приведут нас к тому определению детерминанта, с которого мы начали. Сначала введём терминологию. Минором [​IMG]
    элемента [​IMG] называется определитель, полученный вычёркиванием из исходного определителя строки и столбца, содержащих элемент [​IMG].
    Алгебраическое дополнение [​IMG] элемента [​IMG]
    [​IMG].
    Существует теорема разложения определителя по строке и по столбцу. Согласно этой теореме определитель равен сумме элементов одной строки
    (одного столбца), умноженных на их алгебраические дополнения. Например,
    [​IMG].
    Видно, что это и есть то индуктивное определение детерминанта, которое приводилось выше. Однако теорема о разложении определителя позволяет
    вычислять детерминант разложение не только по первой строке, а по любой строке или любому столбцу - как удобнее.
    Другое следствие теоремы о разложении определителя - теорема об определителе верхнетреугольной матрицы, т.е. матрицы вида
    [​IMG].
    Детерминант такой матрицы равен произведению её диагональных элементов. Отсюда следует способ вычисления определителей высоких порядков.
    Нужно допустимыми преобразованиями привести матрицу к верхнетреугольному виду и перемножить диагональные элементы. К преобразованиям
    относится прибавление к строкам и столбцам определителя других строк и столбцов, умноженных на соответствующие числа. Проиллюстрируем это примерами.

    Примеры вычисления определителей

    Пример 1. Вычисление определителей матриц прямым разложением по строкам и столбцам.
    Вычислить определитель
    [​IMG]

    Один раз покажем вычисление по теореме разложения, однако на практике обычно лучше не применять такой способ к вычислению
    определителей выше третьего порядка (если только в определителе нет большого количества нулей).
    Во втором столбце есть два нуля, поэтому разложение проводим по второму столбцу:
    [​IMG]
    Первый определитель третьего порядка вычисляем разложением по первой строке (впрочем, этот вариант ничем не лучше разложений по другим
    строкам или столбцам). Второй определитель раскладываем по второй строке: там есть один нуль (с тем же успехом можно было раскладывать по
    второму столбцу):
    [​IMG]
    [​IMG]

    Пример 2. Простой пример вычисления определителя методом преобразований.
    Вычислить определитель
    [​IMG].

    В общем, ничто не мешает применить совсем простую формулу для определителя второго порядка, но хотелось бы сделать вычисления проще.
    Для этого вычтем из второго столбца первый, вынесем из второго столбца 100:
    [​IMG].

    Пример 3. Вычисление определителей матриц методом преобразований.
    Вычислим тот же определитель, что и в первом примере, но с помощью допустимых преобразований. Совершённые преобразования будут
    указываться после их проведения.
    [​IMG]
    Из второй и четвёртой строк вычли первую строку, из третьей строки вычли первую, умноженную на 2. Затем вынесли из второй строки двойку.
    Умножили вторую строку на 5, четвёртую строку - на 2. Чтобы определитель не изменился, разделили его на 10. Этими действиями мы приводим
    определитель к ступенчатому виду.
    [​IMG]
    Внесли дробь перед определителем во вторую строку, третью строку умножили на 12, четвёртую - на 7; прибавили к четвёртой строке третью,
    разделили третью строку на 12. Домножения и деления строк определителя сопровождались изменением множителя перед определителем.
    Перемножение диагональных элементов и деление результата на 7 приводит к ответу 46 - в согласии с результатом вычислений в первом примере.
    Может показаться, что мы ничего не выгадали по сравнению с первым примером, пользуясь методом преобразований. Иногда, действительно, вычисления
    и тем, и другим способами примерно одинаковы по сложности. Разница становится очевидна при вычислении определителей бòльших порядков
    или при отсутствии нулей среди элементов матрицы (см. далее).

    Пример 4. Определитель матрицы без нулевых элементов.
    Вычислить определитель
    [​IMG]

    Применяем метод преобразований.
    [​IMG]
    Умножили вторую, третью, четвёртую строки на 3 и вычли из них первую строку; вынесли из второй, третьей и четвёртой строк 2.
    [​IMG]
    Умножили третью и четвёртую строки на 4, вычли из них вторую строку; вынесли из третьей и четвёртой строк 3.
    [​IMG]
    Четвёртую строку умножили на 5 и вычли из неё третью строку.
    Вычисление расписано очень детально, поэтому может показаться, что оно очень длинно. Между тем непосредственное разложение по строке
    не будет короче и к тому же может быть связано с чисто арифметическими вычислительными ошибками.

    Пример 5. Вычисление определителя пятого порядка.
    Вычислить определитель
    [​IMG].

    Хотелось бы сразу пояснить, что раскладывать этот определитель по строкам или столбцам - значит иметь дело с [​IMG] слагаемыми.
    Поэтому будем преобразовывать определитель. Выкладки не будут столь детальны, как прежде. Рекомендуется проделать вычисления самостоятельно,
    а ответ сравнить с полученным здесь:
    [​IMG]
    [​IMG]
    Нужно подчеркнуть, что показанный метод, конечно же, не единственный возможный. Необязательно упорно приводить матрицу к ступенчатому
    виду. Можно комбинировать метод преобразований с разложением по строкам и столбцам, получая нули там, где это удобнее для вычислений.
    Здесь продемонстрирован метод последовательного приведения к ступенчатому виду матрицы.

    Замечания.
    1. В высшей алгебре приводится ещё один способ определения детерминанта, имеющий значительные преимущества по сравнению с приведёнными здесь. Он основан на использовании т.н. внешних произведений.
    2. Теорема разложения имеет очень сильное обобщение - теорему Лапласа. Она заключается в возможности разложения определителя не только по строке, но и по минорам. Мы здесь не останавливаемся
    на этой теореме.
  2. rogue

    rogue Корумчанин

    http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm
  3. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Не возражая против слов процитированного В.И. Арнольда, замечу, что сейчас есть такое модное веяние - пытаться засунуть куда только
    можно и нельзя теорию форм и всё тому подобное. Да, выделенное жирным шрифтом утверждение имеет место быть, с этим не поспоришь,
    только вот вычислять детерминанты оно не поможет. А основной смысл приведённого выше текста сводился к мотивировке введения
    детерминанта в том виде, в каком он вводится буквально с первых семинаров (делается это обычно без обоснования, а появляется оно
    примерно полгода спустя). Также насколько возможно поясняется классическое определение, даваемое в алгебре, а акцент сделан на
    вычислительной части - собственно на том, что нужнее всего студентам первого и второго семестров. Может быть со временем появится
    набор тем, содержащих материал, который в МИФИ не дают.

    С Арнольдом также не поспоришь в том, что геометрии сейчас уделяется слишком мало внимания, но это не значит, что некоторые чисто
    алгебраические вещи должны извлекаться из процесса образования.
  4. rogue

    rogue Корумчанин

    не хочется спорить, если честно, поэтому отвечу очень кратко

    меня учили ( не в мифи), что определитель - это коэффициент преобразования объема под действием линейного оператора. Т.е., под действием линейного оператора А параллелепипед объемом X переходит в параллелепипед с (ориентированным) объемом det(A)*X

    из этого определения мгновенно (без приложения каких-либо умственных усилий) следует что определитель произведения матриц равен произведению определителей, а для суммы матриц например это уже не верно. Из вашего определения это можно вывести, но это уже нетривально. И главное вывод выглядит как бессмысленная возня с индексами, он скорее прячет ясный смысл равенства, а не проясняет его. Также скажем следует, опять же без каких либо вычислений, что определитель матрицы, у которой два столбца или две строки совпадают, равен 0, многое следует про якобиан, про то что не бывает определителя у неквадратной матрицы ну итд

    то, что я услышал правильное определение на почти 2 года позже мифишного, отняло у меня очень много ценного времени, поэтому я теперь так нервно реагирую когда вижу мифишное.

    И вообще, это очень характерная ситуация, которую я неоднократно встречал в жизни. Если вы видите человека, который очень хорошо знает математику, то скорее всего это не потому, что он прорешал всего демидовича, а потому что он читал правильные книжки/учился у правильных людей в то время как другие решали демидовича.
  5. Schufter

    Schufter Мизантроп

    rogue, я за принципиальные вещи с Вами не спорю. Я согласен с тем, что определение, которое приводится в линейной алгебре, во многих
    теоретических вопросах неудобно, очень неудобно. Более того, я упомянул о существовании хорошего определения, имеющего выходы на разные
    интересные общетеоретические вопросы в примечании. Но понимаете, цель вот этой конкретной темы как раз прояснить определение, которое студент
    узнаёт на первом семестре и которое ему может быть непонятно. Цель этой конкретной темы - показать методы вычисления определителей.
    Могу повторить, что была у меня мысль со временем - когда основные темы будут готовы - обратить внимание и на темы, которые в МИФИ не освещают,
    к сожалению. Я согласен, что в МИФИ не хватает современной математики.

    "Возня с индексами" - говорите Вы. Но с индексами-то тоже нужно уметь работать. А навык приобретается на практике, в качестве которой можно
    рассматривать и доказательство таких вот теорем.
    А это, простите, тривиальность.
  6. rogue

    rogue Корумчанин

    я наверное не сумел донести свою мысль. Алгебраическое определение - вредное, оно сильно затрудняет понимание (и не каких-то теоретических вопросов, а самых что ни на есть практических) и ничего не дает, кроме бессмысленного вычислительного рецепта. Бессмысленного потому, что он применим только для матриц от 2х2 до 4х4, как вы правильно написали 5x5 уже слишком много.

    Кстати, считать определители выше 3x3 руками, если мне не изменяет память, мне не приходилось в мифи по-моему (понятно что это были определители как функции какого-то параметра) И вообще считать рукми определители "численные" размером выше 3х3 - анахронизм сродни использованию логарифмической линейки. Кстати и эти определители 3х3 были якобианами при замене переменных в каких-то интегралах, так что и тут правильное определение было бы более полезным.

    Одним словом изучать определители, основываясь на "классическом определении" (на самом деле оно никаким классическим не является конечно) - вредно для мозгов. Наверное чуть лучше чем какие-нибудь подстановки Эйлера, но не сильно. Но я понимаю, что признать это вы не сможете, поэтому как говорят джентельмены let's agree to disagree

    рад, что наши мнения тут совпадают
  7. rogue

    rogue Корумчанин

    кстати, а как без использования геометрического определения объясняют почему векторное и смешанное произведения - определитель? вопрос абсолютно безо всякой подколки, я правда не знаю как это объяснить основываясь на алгебраическом определении
  8. Schufter

    Schufter Мизантроп

    rogue, Вы себе противоречите. С одной стороны
    а с другой стороны
    Т.е. всё-таки для тех определителей, которые считать приходилось, определение пригодно, но потому оно и бессмысленно :huh:
    Не существует "правильного" определения (если только речь не идёт о каких-то ошибках). Есть то, которое Вам больше нравится.
    На мой взгляд ничего вредного в определении детерминанта, которое здесь обсуждается, нет. На первых порах нужен именно способ
    вычисления определителей. Он прекрасно даётся самим определением, чем оно и хорошо. Другое дело, что оно только здесь и хорошо.
    Но я ещё раз повторю: ничем Ваше "правильное определение" вычислению конкретных детерминантов не поможет. Поэтому для теории
    оно хорошее и "правильное", для практики - абсолютно бессильное. Потому что все пользуются тем, что определитель произведения матриц
    есть произведение определителей сомножителей. А как это доказать - для вычислений вопрос совершенно непринципиальный.
    Не совсем понял вопрос. Вот есть вывод такой, что два вектора раскладываются по базису, векторно перемножаются с использованием
    свойства линейности векторного произведения. Всё сводится к произведениям базисных векторов, которые легко вычисляются по
    определению. Получается формула, в которой просматривается определитель. Это Вы геометрическим способом называете?
  9. Den_Che

    Den_Che Корумчанин Преподаватель МИФИ

    А учебник кто-нибудь знает, где бы доказывалось в общем виде и для частных примеров (для матриц 2*2 и 3*3), что определитель - это площадь параллелепипеда? У меня получается очень громоздко уже для 2*2 и общего доказательства совершенно не просматривается
  10. rogue

    rogue Корумчанин

    круто, т.е. объяснение такое что типа "просто так совпало, что просматривается определитель"? весело, да.
  11. rogue

    rogue Корумчанин

    книжка, которую я читал в свое время это "Алгебра" Винберга. Еще есть очень хороший (англоязычный) учебник "Linear Algebra Done Wrong". но и там и там, насколько я помню подход обратный. сначала вводится геометрическое определение, потом из него выводится алгебраическая форма
  12. Schufter

    Schufter Мизантроп

    Den_Che, насколько можно понять, скажем, из учебника Кострикина (специально посмотрел - освежил память),
    для двумерного и трёхмерного случая это проверяется, как там сказано, прямым вычислением. А потом это свойство
    распространяется на высшие размерности.

    Для людей, не доверяющих из принципиальных соображений отечественным источникам, специально порылся в англоязычном
    источнике, столь любимом аудиторией. Там написано следующее:
    Там же, кстати, приводится простое доказательство для двумерного случая.

    Специально посмотрел сейчас в книге Постникова. Его такое доказательство устраивает. Лично для меня он больший авторитет, чем Вы.
  13. myjobisgop

    myjobisgop Осваивается на коруме

    rogue, Ваш подход к определению детерминанту безусловно верный. Только его придется обьяснять в завершении курса линейной алгебры, а перед этим работая только с линейными операторами.

    Вообще непонятно зачем на мехмате (да и в мифи тоже) студентов учат дурацким навыкам вроде: быстрого вычисления определителся, собственных значений / векторов, вычислениям по тысячи пределов, интегралов и т.д.


    Кстати по поводу детерминанта. Есть один момент. Как быть при n >= 4? Вы хотите сказать, что студенту будет удобнее умножать ортогональную составляющую односительно n-1 мерного подпространства на меру n-1 мерного параллелепипеда?



    Schufter, В данном вами определении детерминанта мне не совсем понятно, зачем использовать инверсии, если можно определить подстановки, её разложение в произведении циклических, а далее легко определив четность подстановки. Не проще ли?
  14. Schufter

    Schufter Мизантроп

    myjobisgop, вот смотрите: у Вас только одно перечисление того, сколько всего нужно ввести, заняло половину строки.
    Я думаю, что проще не будет. Инверсии ничем не хуже и ничем не лучше в этом смысле. Я понимаю, что Вам хотелось бы видеть здесь подстановки,
    чтобы был выход, скажем на группы и прочие вещи, если я правильно понял, конечно. Но ввести их никогда не поздно, а здесь это
    необязательно и выигрыша не даст.
    Я категорически несогласен с тем, что это "дурацкие навыки", но предлагаю в этой теме данный вопрос не обсуждать. Не о том она :huh:
    Если хотите - откройте тему в учебном форуме.
Модераторы: onyx

Поделиться этой страницей